§ 1. Граница и внутренность множества

Определения и обозначения

Окрестность точки — множество точек, расстояние от которых до данной точки меньше некоторого положительного числа r. Число r называют радиусом окрестности: оно определяет, насколько далеко от центра можно отойти. Окрестность нужна, чтобы проверять свойства точки не изолированно, а вместе с близлежащими точками.

Внутренняя точка множества — точка, для которой существует окрестность, целиком лежащая в этом множестве. Достаточно найти хотя бы один подходящий радиус. Такое определение показывает, что вокруг точки есть небольшой запас пространства, не выходящий за пределы множества.

Граничная точка множества — точка, любая окрестность которой пересекает и само множество, и его дополнение. Значит, сколько бы мы ни уменьшали радиус, рядом остаются точки обоих типов. Сама граничная точка при этом может принадлежать множеству, а может и не принадлежать ему.

Внутренность множества M — множество всех его внутренних точек, обычно обозначаемое Int M. Граница множества — множество всех его граничных точек; в учебнике её обозначают Fr M. Эти объекты позволяют описывать область целиком, не перечисляя свойства каждой точки отдельно.

Как это устроено

На плоскости расстояние между точками A и X обозначают AX, поэтому окрестность A радиуса r задаётся условием AX < r, где r > 0. В пространстве используется то же правило, только расстояние вычисляется для пространственных точек. Радиус должен быть положительным: при r = 0 не возникает области вокруг точки, а получается лишь сама точка, и проверка близлежащих точек теряет смысл.

Чтобы установить, что точка внутренняя, не нужно исследовать все возможные радиусы. Достаточно выбрать один радиус так, чтобы каждый пункт соответствующей окрестности удовлетворял условиям множества. Например, если точка находится внутри круга и удалена от окружности на расстояние d, можно взять любой радиус меньше d: тогда окрестность не пересечёт границу круга.

Для граничной точки действует более строгий критерий. В любой её окрестности должна быть хотя бы одна точка множества и хотя бы одна точка дополнения, то есть точка, не принадлежащая множеству. Поэтому нельзя ограничиться проверкой одного удобного радиуса: маленькая окрестность может случайно не показать границу, а уменьшение радиуса должно сохранять оба типа точек.

Принадлежность границы множеству не является обязательной. В открытом круге x² + y² < 9 окружность x² + y² = 9 не входит в множество, но является его границей; в замкнутом круге x² + y² ≤ 9 эта же окружность уже входит в множество и всё равно остаётся границей. Чтобы найти внутренность, проверяют точки на наличие подходящей окрестности, а для границы — точки, в каждой окрестности которых встречаются обе части.

Возможны крайние случаи. У всего пространства граница пуста, потому что дополнение пусто, а внутренность совпадает со всем пространством; у пустого множества и внутренность, и граница пусты. У отрезка на плоскости внутренних точек относительно плоскости нет, поскольку любая круговая окрестность выходит за отрезок, зато все точки отрезка являются граничными.

Как различать точки относительно множества

Сначала выясните, можно ли подобрать одну окрестность, полностью лежащую в множестве или полностью вне его. Если такой окрестности нет, проверьте, встречаются ли в каждой окрестности точки множества и дополнения: тогда точка граничная.

Таблица особенно полезна при работе с неравенствами. Строгие неравенства обычно описывают внутренность, а равенства на границе требуют отдельной проверки принадлежности исходному множеству.

Разбор задач

Открытый круг

Рассмотрим множество M = {(x, y): x² + y² < 9}. Нужно определить его внутренние и граничные точки. Это круг радиуса 3 без окружности, поэтому для точки внутри круга важна её удалённость от окружности.

1. Пусть x² + y² < 9. Расстояние от точки до окружности положительно; выберем радиус окрестности меньше этого расстояния.
2. Такая окрестность целиком останется внутри круга, значит, точка внутренняя.
3. Если x² + y² = 9, любая окрестность содержит точки с x² + y² < 9 и точки с x² + y² > 9. Поэтому точка граничная.

Ответ: внутренность — множество x² + y² < 9, а граница — окружность x² + y² = 9. Точки за окружностью являются внешними.

Кольцо

Пусть M = {(x, y): 1 ≤ x² + y² ≤ 4}. Область расположена между окружностями радиусов 1 и 2 и включает обе окружности. Нужно отделить точки с запасом до обеих границ от самих краевых точек.

1. Для 1 < x² + y² < 4 можно выбрать окрестность, не достигающую ни внутренней, ни внешней окружности.
2. При x² + y² = 1 любая окрестность содержит точки кольца и точки внутри малого круга, не принадлежащие M.
3. При x² + y² = 4 любая окрестность содержит точки кольца и точки вне большого круга.

Ответ: Int M = {1 < x² + y² < 4}, а Fr M состоит из окружностей x² + y² = 1 и x² + y² = 4. Обе окружности входят в исходное кольцо, но это не меняет их граничного характера.

Треугольная область

Рассмотрим M = {(x, y): x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}. Это треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (0, 1). Внутри треугольника все три ограничения выполняются строго, а на каждой стороне одно из них превращается в равенство.

1. Если x > 0, y > 0 и x + y < 1, точка имеет положительное расстояние до всех трёх сторон, поэтому существует окрестность внутри M.
2. На прямой x = 0, на прямой y = 0 или на прямой x + y = 1 любая окрестность выходит за пределы хотя бы одного условия.
3. При этом та же окрестность содержит точки треугольника, поэтому каждая такая точка граничная.

Ответ: Int M = {(x, y): x > 0, y > 0, x + y < 1}. Граница состоит из трёх отрезков x = 0, y ≥ 0, y ≤ 1; y = 0, x ≥ 0, x ≤ 1; x + y = 1 при x ≥ 0 и y ≥ 0.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что граничная точка обязательно принадлежит множеству. Так думают из-за рисунка, где границу часто рисуют частью области, но открытый круг опровергает это. Проверьте отдельно условие принадлежности и критерий всех окрестностей.

Ошибка 2. Называть точку внутренней только потому, что она принадлежит множеству. Принадлежность не гарантирует наличие окрестности внутри: точка на стороне треугольника входит в замкнутый треугольник, но является граничной. Для проверки найдите конкретный положительный радиус.

Ошибка 3. Проверять для границы только пересечение с множеством и забывать о дополнении. Тогда внешняя точка может ошибочно показаться граничной. Нужно убедиться, что каждая окрестность содержит оба типа точек.

Ошибка 4. Считать границей только нарисованную линию или поверхность. У необычных множеств граница может быть пустой, совпадать со всем множеством или определяться неочевидно. Надёжная проверка всегда опирается на окрестности, а не только на внешний вид.

Связь с другими темами

Для работы с окрестностями нужны расстояние между точками, уравнения окружности и круга, а также неравенства, задающие области на плоскости и в пространстве. Умение переходить от неравенств к геометрической области помогает сразу видеть возможные внутренние и граничные точки.

Внутренность и граница используются при изучении областей, геометрических тел и непрерывности функций. Например, при исследовании функции важно различать точки внутри области определения и точки, к которым можно приближаться из разных частей пространства.

Что запомнить

• Окрестность точки задаётся условием, что расстояние до неё меньше положительного радиуса.
• Внутренняя точка имеет хотя бы одну окрестность, целиком лежащую в множестве.
• Каждая окрестность граничной точки пересекает и множество, и его дополнение.
• Граничная точка может как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.
• Внутренность состоит из всех внутренних точек множества.
• Граница состоит из всех граничных точек множества.