"Геометрия", Погорелов А.В.
Многогранник — объёмное тело, граница которого состоит из многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, а точки соединения рёбер — вершинами. По этим элементам можно описывать и сравнивать разные тела, например кубы и пирамиды. Главное — помнить, что грани образуют замкнутую поверхность: у неё нет разрывов, а каждое ребро является общей стороной двух граней. На рисунке часть рёбер может быть скрыта, но они всё равно принадлежат телу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — тело, ограниченное конечным числом многоугольников. Эти многоугольники соединены так, что вместе образуют замкнутую поверхность: у неё нет открытых краёв и разрывов. Такое определение помогает отличить целое объёмное тело от отдельной плоской фигуры.
Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть его поверхности. У куба, например, грани имеют форму квадратов, а у пирамиды боковые грани могут быть треугольниками. Это название нужно, чтобы говорить об отдельных плоских частях поверхности тела.
Ребро многогранника — сторона его грани. В замкнутой поверхности каждое ребро является общей стороной двух граней, поэтому оно соединяет соседние части поверхности. Понятие ребра позволяет описывать, как грани прилегают друг к другу.
Вершина многогранника — вершина одной или нескольких его граней. В вершине сходятся рёбра, а концы каждого ребра являются вершинами. Так можно обозначить точки, в которых встречаются стороны разных граней.
Поверхность многогранника складывается из отдельных многоугольников. Чтобы она стала границей тела, соседние грани должны соединяться сторонами: край одной грани совпадает с краем другой. Если где-то стороны не соединены и остаётся отверстие, поверхность не замкнута и не ограничивает многогранник со всех сторон.
Грань, ребро и вершина — не отдельные предметы, а связанные части одного тела. Ребро одновременно служит стороной двух соседних граней, а его концы входят в вершины этих граней. Благодаря такой связи поверхность можно представить как сеть многоугольников, соединённых общими сторонами и точками.
Многоугольник лежит на плоскости, поэтому у него есть стороны и вершины, но нет объёма. Многогранник, напротив, ограничивает часть пространства: внутри его поверхности находится тело. Это различие помогает не называть куб или пирамиду многоугольником, даже если отдельные части их поверхности плоские.
На модели или рисунке сначала ищут плоские участки поверхности — грани. Их прямолинейные границы являются рёбрами, а точки, где сходятся рёбра, — вершинами. Проверка этих трёх признаков помогает распознать многогранник и не принять за его элемент произвольную линию или точку.
Рисунок передаёт объёмное тело на плоскости, поэтому он не показывает его полностью. Ближние рёбра обычно видны, а дальние могут быть закрыты гранями или другими рёбрами. Иногда скрытые рёбра изображают пунктиром; даже если их не нарисовали, они остаются частью многогранника, потому что принадлежат его поверхности.
| Элемент | Что представляет собой | Как связан с другими элементами |
|---|---|---|
| Грань | Многоугольник на поверхности тела. | Её стороны являются рёбрами, а их концы — вершинами. |
| Ребро | Сторона грани, прямолинейный участок границы поверхности. | Является общей стороной двух граней и соединяет вершины. |
| Вершина | Точка, в которой сходятся рёбра. | Является вершиной граней и концом рёбер. |
Используйте таблицу, чтобы последовательно разобрать модель: сначала найдите грани, затем их стороны и точки соединения. Проверяйте связи между элементами, а не только их внешний вид. Например, отрезок на поверхности должен быть стороной граней, чтобы считаться ребром.
Задача 1. На рисунке куба назовите его грани, рёбра и вершины. Обозначений точек на рисунке нет, поэтому элементы удобнее перечислить по виду и количеству. Нужно отличать части куба друг от друга по их роли в поверхности.
Ответ: грани куба — шесть квадратов, рёбра — двенадцать отрезков, вершины — восемь точек. Скрытое на рисунке ребро тоже учитывают, так как оно принадлежит поверхности куба. Такой порядок помогает не спутать элемент и его изображение.
Задача 2. Дан каркас многогранника. Определите, какие его отрезки являются рёбрами, а какие точки — вершинами. Каркас показывает прямолинейные связи, но не все нарисованные отрезки обязательно окажутся сторонами граней. Поэтому нужно проверять, как они участвуют в поверхности.
Ответ: вершинами называют точки, где сходятся рёбра; рёбрами — соединяющие их стороны граней. Одного факта, что линия нарисована на каркасе, недостаточно: проверьте её положение относительно граней. Так можно отделить рёбра от возможных диагоналей.
Задача 3. Дана модель из многоугольников. Объясните, можно ли считать её поверхность границей многогранника. Нужно выяснить, соединены ли детали по сторонам и образуют ли они поверхность без отверстий. Одного наличия нескольких многоугольников для этого недостаточно.
Ответ: модель образует границу многогранника, если многоугольные грани соединены сторонами и вместе составляют замкнутую поверхность. Если есть разрыв или незакрытый край, считать её такой границей нельзя. Решение определяется устройством всей поверхности, а не формой одного многоугольника.
Видимый участок рисунка иногда принимают за грань. Но грань должна быть многоугольником на поверхности тела, а не просто любой закрашенной областью или частью изображения. Проверьте, можно ли выделить у неё стороны и вершины и принадлежит ли она поверхности многогранника.
Ребро часто путают с диагональю грани, потому что обе линии соединяют точки многоугольника. Ребро — сторона грани, а диагональ соединяет несоседние вершины и проходит внутри неё. Чтобы проверить себя, посмотрите, лежит ли отрезок на границе грани.
Невидимое ребро могут ошибочно считать отсутствующим. Оно скрыто другой частью тела на плоском рисунке, поэтому зрителю не виден отрезок, но это не меняет устройство самого многогранника. Представьте модель в объёме или мысленно обойдите её с другой стороны: скрытая линия остаётся частью поверхности.
Иногда вершиной называют любую точку на поверхности. Однако вершина — это место, где сходятся рёбра, а не произвольная точка на грани. Проверьте, встречаются ли в выбранной точке несколько сторон поверхности; если точка лежит внутри грани, вершиной многогранника она не является.
Для изучения многогранников нужно знать многоугольники, их стороны и вершины, а также понимать, что такое прямая и отрезок. Эти знания помогают разбирать форму граней и находить их границы. Позже те же понятия пригодятся при изучении призм, параллелепипедов и пирамид, которые являются видами многогранников. Представление о гранях и поверхности служит основой для вычисления площади поверхности, а понимание объёмного тела — для изучения объёма.
Чем многогранник отличается от многоугольника?
Многоугольник — плоская фигура, а многогранник — тело, которое занимает часть пространства и имеет объём. Его поверхность составлена из многоугольников.
Что называют гранью многогранника?
Грань — это многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника. Например, у куба грани имеют форму квадратов.
Может ли ребро принадлежать только одной грани?
Нет, у многогранника каждое ребро является общей стороной двух граней. Если сторона не соединена со второй гранью, поверхность не образует замкнутую границу тела.
Почему на рисунке видны не все рёбра?
Часть рёбер может находиться за телом и закрываться видимыми гранями. На рисунке их иногда показывают условно, например пунктиром, но они остаются элементами многогранника.
Как отличить ребро от диагонали грани?
Ребро — сторона грани, поэтому оно лежит на границе поверхности. Диагональ соединяет две несоседние вершины одного многоугольника и проходит внутри грани.
135. Многогранники
