134. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Определения и обозначения

Угол между прямыми — угол между ними, если они пересекаются. Для скрещивающихся прямых его находят, проводя через точку одной прямую, параллельную другой. Это определение позволяет сравнивать направления прямых, даже если они не имеют общей точки.

Перпендикулярные прямые — прямые, угол между которыми равен 90°. В пространстве такие прямые могут пересекаться или быть скрещивающимися. Это понятие помогает описывать взаимное расположение прямых и проверять, образуют ли их направления прямой угол.

Прямая, перпендикулярная плоскости, — прямая, пересекающая плоскость под прямым углом. Говорят также, что прямая перпендикулярна плоскости. Такое отношение используют, когда нужно провести или распознать перпендикуляр к плоскости.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикулярная прямая пересекает плоскость. Это точка принадлежит и прямой, и плоскости. Она показывает, откуда начинается перпендикуляр, например при поиске расстояния от точки до плоскости.

Как это устроено

У скрещивающихся прямых нет общей точки, поэтому угол между ними нельзя увидеть в месте пересечения. Чтобы всё же сравнить направления, через точку одной прямой проводят параллельную второй. Параллельные прямые имеют одно направление, а угол зависит именно от направлений сторон. Поэтому угол между новой и исходной прямыми задаёт угол между скрещивающимися прямыми.

Пусть прямая перпендикулярна плоскости и пересекает её в точке. Любая прямая плоскости, проходящая через эту точку, образует с перпендикуляром прямой угол. Причина в том, что перпендикуляр направлен поперёк плоскости, а все такие прямые лежат в ней и проходят через общую точку. Это свойство позволяет сравнивать перпендикуляр с разными направлениями внутри плоскости.

Проверить перпендикулярность прямой и плоскости можно по двум прямым этой плоскости. Нужно выбрать их так, чтобы они пересекались, а затем установить, что данная прямая перпендикулярна каждой из них. Две пересекающиеся прямые задают разные направления внутри плоскости; проверка только одного направления ничего не говорит о другом. Поэтому условие о пересечении этих прямых обязательно.

Если в плоскости найдены две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной прямой, можно применить обратный ход рассуждения. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости такая прямая перпендикулярна всей плоскости. Проверять все прямые плоскости не требуется: признак позволяет сделать вывод по двум подходящим прямым. Главное — подтвердить обе перпендикулярности и то, что выбранные прямые пересекаются.

Параллельные прямые имеют одинаковое направление, поэтому их положение относительно плоскости согласовано. Если одна из них перпендикулярна плоскости, то любая параллельная ей прямая также перпендикулярна этой плоскости. Такой перенос полезен, когда удобнее рассматривать не исходную прямую, а параллельную ей. При этом важно, что речь идёт о параллельной прямой, а не просто о любой прямой с похожим расположением на чертеже.

Перпендикулярность прямых и прямой с плоскостью

Сверяйтесь с таблицей так: сначала определите, какие объекты рассматриваются, затем проверьте условия в нужной строке. Для признака прямой и плоскости отдельно убедитесь, что две прямые плоскости пересекаются. Строка о параллельной прямой напоминает, когда перпендикулярность можно перенести.

Разбор задач

Задача 1. Две пересекающиеся прямые образуют угол 90°. Определите, перпендикулярны ли они.

1. Прямые пересекаются, поэтому угол между ними определяется непосредственно.
2. По условию этот угол равен 90°.
3. Сравниваем условие с определением перпендикулярных прямых: угол должен быть прямым.

Ответ: прямые перпендикулярны. Здесь не нужно строить параллельную прямую, потому что у данных прямых есть точка пересечения.

Задача 2. Прямые a и b скрещиваются. Через точку прямой a проведена прямая b₁, параллельная b; угол между a и b₁ равен 90°. Определите взаимное расположение a и b.

1. Для скрещивающихся прямых угол определяют через прямую, параллельную одной из них.
2. По условию b₁ проходит через точку a и параллельна b, значит, угол между a и b₁ задаёт угол между a и b.
3. Этот угол равен 90°, следовательно, угол между исходными прямыми тоже прямой.

Ответ: a и b перпендикулярны как скрещивающиеся прямые. Они не пересекаются, но их угол равен 90° по определению угла между скрещивающимися прямыми.

Задача 3. В плоскости α пересекаются прямые a и b. Известно, что прямая l перпендикулярна и a, и b. Докажите, что l перпендикулярна α.

1. Сначала проверяем условие о расположении прямых: a и b лежат в α и пересекаются.
2. По условию l перпендикулярна каждой из этих двух прямых.
3. Все условия признака выполнены: l перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α.
4. По признаку делаем вывод о перпендикулярности всей плоскости.

Ответ: l ⟂ α. В доказательстве решающими были не только две перпендикулярности, но и то, что прямые a и b пересекаются.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что перпендикулярные прямые обязательно пересекаются. Так думают, перенося привычную картину с листа бумаги на пространство. Проверьте, как определён угол между скрещивающимися прямыми: если он равен 90°, прямые перпендикулярны, хотя общей точки у них нет.
• Ошибка: объявлять прямую перпендикулярной плоскости по прямому углу с любой линией на рисунке. На рисунке не каждая линия принадлежит плоскости или проходит через точку пересечения. Уточните, что проверяемая прямая лежит в плоскости и проходит через основание перпендикуляра.
• Ошибка: проверять для признака только одну прямую плоскости. К одной прямой можно быть перпендикулярным, не будучи перпендикулярным плоскости целиком. Найдите вторую прямую этой плоскости и проверьте, что она пересекает первую.
• Ошибка: считать достаточной перпендикулярность к двум прямым, не проверив их пересечение. Это упускают, запоминая признак слишком коротко. Перед выводом отметьте, что обе прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, как прямые и плоскости могут располагаться в пространстве, а также что такое угол и перпендикулярные прямые на плоскости. Новые определения помогают строить перпендикуляры и находить расстояние от точки до плоскости. Они применяются в задачах о прямоугольных параллелепипедах и призмах. Позже те же рассуждения пригодятся при изучении перпендикулярных плоскостей и пространственных доказательств.

Что запомнить

• Угол между скрещивающимися прямыми находят, проведя через точку одной прямую, параллельную другой.
• Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.
• Прямая перпендикулярна плоскости, если она пересекает её под прямым углом.
• Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна всем прямым этой плоскости, проходящим через точку пересечения.
• Чтобы доказать перпендикулярность прямой плоскости, достаточно доказать её перпендикулярность двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то другая тоже перпендикулярна ей.