133. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если две прямые не пересекаются, но не лежат в одной плоскости, они не параллельны. Определение нужно, чтобы различать эти случаи, а не делать вывод только по виду чертежа.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек. Такая прямая не пересекает плоскость и не лежит в ней. Это понятие позволяет описывать расположение ребра относительно грани многогранника и доказывать, что прямая не встретит плоскость.

Параллельные плоскости — это плоскости, которые не пересекаются, то есть не имеют общих точек. В отличие от двух пересекающихся плоскостей, у которых есть общая прямая, параллельные плоскости не имеют даже одной общей точки. Определение помогает сравнивать, например, противоположные грани куба.

Как это устроено

На плоскости две прямые, которые не пересекаются, параллельны. В пространстве этого недостаточно: прямые могут быть направлены в разные стороны и находиться на разных гранях фигуры. Если они не лежат в одной плоскости, их называют скрещивающимися. Поэтому, чтобы назвать прямые параллельными, нужно установить и отсутствие пересечения, и то, что они лежат в одной плоскости.

Есть удобный признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая не лежит в плоскости, но параллельна прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна всей плоскости. Причина в том, что пересечение с плоскостью привело бы к пересечению с этой лежащей в ней прямой либо нарушило бы параллельность. На практике достаточно найти подходящую прямую в плоскости и обосновать параллельность.

Признак параллельности прямых помогает продолжать цепочку доказательства. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Действительно, обе имеют одно направление, поэтому не пересекаются; кроме того, через две такие прямые можно провести одну плоскость. В задачах это удобно, когда напрямую сравнить нужные прямые трудно, а для каждой известна параллельная ей прямая.

Чтобы доказать параллельность двух плоскостей, используют две прямые в каждой из них. Если две пересекающиеся прямые первой плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй, то плоскости параллельны. Пересечение важно: две пересекающиеся прямые задают положение плоскости, тогда как одна прямая не определяет его однозначно. Значит, нужно показать две пары параллельных прямых и отдельно убедиться, что прямые внутри каждой пары пересекаются.

Пространственные фигуры на листе изображают плоскими линиями, поэтому чертёж передаёт расположение условно. Рёбра, которые параллельны в пространстве, могут выглядеть на рисунке непараллельными, а прямые без видимой точки пересечения могут оказаться скрещивающимися. Рисунок помогает выбрать нужные объекты, но доказательство строят по определению или признаку. Проверяй, какие прямые лежат в одной плоскости и какие отношения между ними уже известны.

Параллельность в пространстве: определения и признаки

Сначала определи, какие объекты сравниваются, а затем прочитай соответствующую строку. Если требуется доказательство, используй третий столбец и проверь все условия признака. В частности, для плоскостей важно, чтобы прямые в каждой из них пересекались.

Разбор задач

1. Прямая, параллельная AB

Условие. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ укажите прямую, параллельную AB, и обоснуйте ответ. У куба противоположные рёбра одной грани параллельны, а соответствующие рёбра верхней и нижней граней тоже параллельны. Используем эти свойства вместе с признаком для прямых.

1. В основании ABCD противоположные рёбра AB и CD параллельны.
2. В кубе ребро CD параллельно соответствующему верхнему ребру C₁D₁. Значит, AB и C₁D₁ параллельны одной и той же прямой CD.
3. По признаку прямые, параллельные одной прямой, параллельны друг другу. Поэтому AB ∥ C₁D₁.

Ответ: например, C₁D₁; также AB параллельна CD и A₁B₁.

2. Прямая параллельна плоскости

Условие. В кубе докажите, что AA₁ параллельна плоскости BCC₁B₁. Чтобы воспользоваться признаком, нужно выбрать в этой плоскости прямую, параллельную AA₁. Боковая грань BCC₁B₁ содержит ребро BB₁, а вертикальные рёбра куба параллельны.

1. Ребро BB₁ лежит в плоскости BCC₁B₁.
2. Рёбра AA₁ и BB₁ — параллельные рёбра куба, следовательно, AA₁ ∥ BB₁.
3. Прямая AA₁ не лежит в плоскости BCC₁B₁: точка A не принадлежит этой грани. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости AA₁ параллельна BCC₁B₁.

Ответ: AA₁ ∥ плоскости BCC₁B₁.

3. Параллельные плоскости

Условие. Докажите, что плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны. Для этого признака нужны две пересекающиеся прямые в каждой плоскости, причём соответствующие прямые должны быть параллельны. Выберем пары рёбер, сходящиеся в вершинах A и A₁.

1. Прямые AB и AD лежат в плоскости ABCD и пересекаются в точке A.
2. Прямые A₁B₁ и A₁D₁ лежат в плоскости A₁B₁C₁D₁ и пересекаются в точке A₁.
3. Соответствующие рёбра куба параллельны: AB ∥ A₁B₁ и AD ∥ A₁D₁. По признаку параллельности плоскостей две плоскости параллельны.

Ответ: ABCD ∥ A₁B₁C₁D₁.

Типичные ошибки

Считать любые две непересекающиеся прямые параллельными — ошибка: в пространстве они могут быть скрещивающимися. Так рассуждают, перенося правило с плоскости, где такого случая нет. Проверь, лежат ли прямые в одной плоскости; если нет, они скрещиваются.

Нельзя утверждать, что прямая параллельна плоскости, только потому, что на рисунке они не пересекаются. Проекция пространственной фигуры может скрыть пересечение или скрещивание. Найди в плоскости прямую, параллельную данной, и проверь, что данная прямая в плоскости не лежит.

Для признака параллельности плоскостей нельзя выбрать две параллельные прямые внутри каждой плоскости вместо пересекающихся. Такая пара не задаёт нужного положения плоскости, поэтому условие признака не выполнено. Проверь, что выбранные прямые действительно встречаются в каждой плоскости.

Отсутствие видимого пересечения на чертеже не доказывает отсутствие общих точек в пространстве. Вид рисунка зависит от того, как объёмную фигуру изобразили на листе, поэтому он может вводить в заблуждение. Сверь вывод с определением или признаком и обоснуй каждое нужное отношение.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия прямой и плоскости, принадлежности точки прямой или плоскости, а также знакомое по планиметрии понятие параллельных прямых. В пространстве к ним добавляется возможность скрещивания, поэтому прежнее правило о непересекающихся прямых приходится применять осторожно. Новые признаки помогают доказывать взаимное расположение элементов фигур.

Эти знания пригодятся при изучении сечений многогранников и других задач о прямых и плоскостях в пространстве. Например, чтобы понять форму сечения, полезно выяснить, параллельна ли его линия грани или другому ребру. Так становится проще обосновывать свойства частей объёмной фигуры, а не только угадывать их по изображению.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек.
• Чтобы доказать параллельность прямой и плоскости, достаточно найти в плоскости прямую, параллельную данной.
• Две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
• Для признака параллельности плоскостей нужны две пары соответственно параллельных пересекающихся прямых.