1.2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их записывают так: a ∥ b. Условие об общей плоскости отличает их от скрещивающихся прямых.

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Они не являются параллельными, хотя на чертеже могут выглядеть как параллельные. Это определение помогает верно описывать взаимное расположение прямых в пространстве.

Прямая параллельна плоскости, если она не лежит в этой плоскости и не имеет с ней общих точек. Обозначение: a ∥ α. Такое понятие позволяет сравнивать объекты разной размерности — прямую и плоскость.

Параллельные плоскости — плоскости, которые не пересекаются и не имеют общих точек. Их обозначают α ∥ β. Это определение используют, чтобы установить взаимное расположение плоскостей в многогранниках и других фигурах.

Как это устроено

На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны, но в пространстве появляется ещё один вариант. Прямые могут находиться в разных плоскостях и потому не встретиться, даже если не имеют общего направления в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися. Поэтому, проверяя параллельность, нужно установить не только отсутствие точки пересечения, но и принадлежность обеих прямых одной плоскости.

Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, можно найти в этой плоскости прямую, параллельную данной прямой. Если прямая a не лежит в α и параллельна прямой b, лежащей в α, то a не пересекает α: иначе точка пересечения a с α принадлежала бы и b, что противоречило бы параллельности a и b. Значит, a ∥ α. Этот признак превращает задачу о прямой и плоскости в задачу о двух прямых.

Пусть α проходит через прямую a и пересекает прямую b, параллельную a. Обозначим линию пересечения плоскостей через c. Точка пересечения b с α лежит и в β — плоскости, содержащей a и b, поэтому она принадлежит линии c. Прямые a и c лежат в α и проходят через точку, а обе параллельны b; следовательно, c ∥ a и c ∥ b. Это следствие помогает находить направление линии пересечения плоскостей.

Для признака параллельности плоскостей нужны две пересекающиеся прямые в каждой из них. Если две прямые α соответственно параллельны двум прямым β, и в каждой паре эти прямые пересекаются, то направления плоскостей совпадают. Плоскости не могут пересекаться по линии: тогда обе прямые одной плоскости, параллельные пересекающимся прямым другой, оказались бы в той же плоскости пересечения, что невозможно для двух пересекающихся прямых. Значит, α ∥ β.

В пространственном чертеже сначала определяют, какие прямые принадлежат нужным плоскостям. Затем проверяют, пересекаются ли выбранные прямые внутри каждой плоскости и можно ли обосновать их параллельность по условию или ранее доказанному свойству. После этого применяют подходящий признак и формулируют вывод о прямой и плоскости либо о двух плоскостях. Такой порядок не позволяет подменить доказательство внешним видом рисунка.

Параллельность объектов в пространстве

Сначала определите, какие объекты сравниваются, а затем проверьте условие параллельности для этой пары. В графе обоснования указано, какие факты нужно установить, прежде чем сделать вывод.

Разбор задач

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите пары параллельных прямых и пары скрещивающихся прямых. Решение строим по расположению рёбер, не полагаясь только на их вид на рисунке. Например, сравним AB и CD, а затем AB и CC₁.

1. Рёбра AB и CD лежат в плоскости основания ABCD и не пересекаются. Поэтому AB ∥ CD.
2. Прямая AB лежит в плоскости основания, а CC₁ пересекает основание только в C, не принадлежащей AB. Эти прямые не пересекаются.
3. Если бы AB и CC₁ лежали в одной плоскости, она содержала бы точку C и прямую AB. Такая плоскость — плоскость основания, но CC₁ в ней не лежит. Значит, прямые скрещиваются.

Ответ: AB и CD параллельны, AB и CC₁ скрещиваются.

Задача 2. В треугольной призме требуется доказать, что боковое ребро параллельно плоскости основания. Проверим, возможно ли такое утверждение для обычной призмы, прежде чем искать нужную прямую в основании. Боковое ребро имеет общую точку с основанием.

1. Пусть боковое ребро AA₁ выходит из вершины A основания ABC. Тогда A принадлежит и ребру AA₁, и плоскости основания ABC.
2. Значит, AA₁ пересекает плоскость основания в точке A. По определению прямая, параллельная плоскости, не должна иметь с ней общих точек.
3. Следовательно, требуемое утверждение для бокового ребра и плоскости основания неверно. Найти прямую основания, параллельную AA₁, и применить признак нельзя: это не устраняет пересечения AA₁ с основанием.

Ответ: боковое ребро не параллельно плоскости основания; условие задачи в такой формулировке содержит ошибку.

Задача 3. Докажите параллельность плоскостей α и β, если в α есть пересекающиеся прямые a и b, а в β — пересекающиеся прямые a₁ и b₁, причём a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Важно проверить все условия признака, а не ограничиваться одной парой прямых. Предполагаем, что пары прямых соответствуют указанному в условии порядку.

1. В плоскости α прямые a и b пересекаются. В плоскости β прямые a₁ и b₁ также пересекаются.
2. Установлены две пары параллельных прямых: a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Следовательно, выполнены условия признака параллельности плоскостей.
3. По признаку плоскости α и β параллельны. Пересечение прямых внутри каждой плоскости нужно для применения признака.

Ответ: α ∥ β.

Типичные ошибки

Считать любые две непересекающиеся прямые параллельными — значит забыть о скрещивающихся прямых. Обычно так рассуждают по плоскому изображению, где не видно пространственного положения. Проверьте, можно ли провести одну плоскость через обе прямые. Если нельзя, прямые скрещиваются.

Объявлять прямую параллельной плоскости только потому, что на рисунке они не пересекаются, ненадёжно: чертёж может быть условным. Ошибку допускают, принимая изображение за доказательство. Найдите в плоскости прямую, параллельную данной, и примените признак либо обоснуйте отсутствие общих точек другим способом.

Прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной ей, поскольку имеет с ней общие точки. Путаница возникает из-за бытового смысла слова «параллельны», который не учитывает строгое определение. Проверьте, не принадлежит ли прямая самой плоскости: условие параллельности требует, чтобы она была вне неё.

Одной пары параллельных прямых недостаточно, чтобы доказать параллельность плоскостей. Такая пара показывает только одно общее направление и не определяет взаимное положение плоскостей. Для признака нужны две пары, а прямые в каждой плоскости должны пересекаться. Перед выводом перечислите все четыре прямые и проверьте эти условия.

Связь с другими темами

Для изучения параллельности в пространстве нужны представления о взаимном расположении прямых и плоскостей, а также аксиомы стереометрии. Аксиомы задают основные свойства пространства, на которых строятся доказательства. Полезно также знать признаки параллельности прямых на плоскости: они помогают обосновывать параллельность прямых, выбранных в пространственных фигурах.

Эти определения и признаки пригодятся при параллельном проектировании, построении сечений многогранников и решении задач на расстояния в пространстве. Параллельность помогает устанавливать направления рёбер и линий пересечения плоскостей. Благодаря этому проще обосновывать построения и свойства частей пространственной фигуры.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• Прямая параллельна плоскости, если она не лежит в ней и параллельна некоторой прямой этой плоскости.
• Две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельные двум пересекающимся прямым другой, дают признак параллельности плоскостей.
• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Для доказательства пространственной параллельности нужно опираться на признаки, а не только на вид чертежа.