1.1. Основные свойства пространства

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В планиметрии рассматривают фигуры на одной плоскости, а в стереометрии учитывают и их расположение вне этой плоскости. Это различие помогает понять, почему для пространственных задач нужны дополнительные свойства точек, прямых и плоскостей.

Плоскость — бесконечная плоская поверхность. На чертеже её изображают только частью, например в виде параллелограмма, а обозначают греческой буквой или тремя точками, лежащими в ней. Такое изображение удобно для рассуждений, но оно не ограничивает плоскость краями нарисованной фигуры.

Точки называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Если нельзя указать плоскость, содержащую все эти точки, они называются некомпланарными. Термины позволяют точно описывать, можно ли рассматривать несколько точек как принадлежащие одной плоской фигуре.

Прямая лежит в плоскости, если каждая её точка принадлежит этой плоскости. На рисунке прямая может быть показана внутри контура плоскости, однако смысл определения относится ко всем её точкам, а не только к видимому отрезку. Это определение понадобится, чтобы обосновать принадлежность прямой плоскости через две её точки.

Как это устроено

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Условие о неколлинеарности необходимо: если все три точки находятся на одной прямой, они не задают плоскость однозначно. Вокруг этой прямой можно мысленно поворачивать плоскость, и все такие плоскости будут содержать те же три точки. Поэтому для единственности нужна третья точка вне прямой, заданной двумя другими.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Это свойство позволяет устанавливать принадлежность не по бесконечному множеству точек, а по двум выбранным точкам. Сначала проверяют, что обе точки действительно находятся в плоскости и принадлежат одной прямой, затем применяют свойство ко всей прямой. По одной общей точке такой вывод сделать нельзя.

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Эта прямая и есть их общая линия: каждая её точка принадлежит обеим плоскостям. Поэтому исходная общая точка также принадлежит линии пересечения, а не просто находится где-то отдельно от неё. Если плоскости различны, у них не может быть только одна общая точка: пересечение продолжается вдоль прямой.

Три основных свойства помогают переводить пространственную задачу в рассуждение о конкретных точках, прямых и плоскостях. Например, чтобы установить, что прямая лежит в плоскости, находят две её точки в этой плоскости; чтобы определить плоскость по точкам, проверяют, что три точки не лежат на одной прямой. А при наличии общей точки двух плоскостей используют их линию пересечения и рассматривают принадлежащие ей точки. Так пространственную картину заменяют последовательностью проверяемых шагов.

Эти свойства принимаются без доказательства и называются аксиомами. Аксиома задаёт исходное правило, на которое можно опираться, не доказывая его из других положений стереометрии. Дальнейшие теоремы получают с помощью логических рассуждений, используя аксиомы и уже доказанные утверждения. Если в задаче применяют свойство пространства, нужно проверить, выполнены ли его условия.

Основные свойства пространства

Пользуйся таблицей как проверкой перед выводом: сначала найди в условии нужные точки или факт пересечения, затем сопоставь их с условиями свойства. Только после этого можно записать вывод. Если хотя бы одно условие не выполнено или не доказано, применять свойство нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Здесь дано именно условие, необходимое для свойства плоскости через три точки. Нужно определить не только существование такой плоскости, но и количество вариантов. Обозначения точек не влияют на ответ: важна их неколлинеарность.

1. Проверяем условие: точки A, B и C не лежат на одной прямой.
2. Применяем свойство пространства: через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость.
3. Значит, другого варианта плоскости, содержащей все три точки, нет.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2. Точки A и B прямой a принадлежат плоскости α. Докажите, что прямая a лежит в плоскости α. Важно установить принадлежность всей прямой, а не только её двух указанных точек. Условие задачи совпадает с условием свойства прямой и плоскости.

1. Записываем, что A и B принадлежат прямой a и плоскости α.
2. Поскольку A и B — две точки прямой a, применяем свойство: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.
3. Следовательно, каждая точка прямой a принадлежит плоскости α.

Ответ: a лежит в α.

Задача 3. Плоскости α и β имеют общие точки A и B, причём A ≠ B. Докажите, что прямая AB принадлежит обеим плоскостям. Условие о разных точках важно: через две различные точки проходит прямая AB, которую можно рассматривать как линию пересечения плоскостей. Затем нужно обосновать принадлежность этой прямой каждой плоскости.

1. Так как A и B принадлежат обеим плоскостям, плоскости имеют общие точки и пересекаются по прямой.
2. Обе точки A и B принадлежат линии пересечения: они общие для плоскостей, а значит, лежат на их общей прямой.
3. Через две различные точки A и B проходит прямая AB, поэтому она и есть линия пересечения плоскостей.
4. Линия пересечения принадлежит обеим плоскостям, следовательно, прямая AB лежит и в α, и в β.

Ответ: прямая AB принадлежит обеим плоскостям.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Её допускают, забывая проверить, не лежат ли точки на одной прямой. Через одну прямую можно провести множество плоскостей, поэтому проверь условие неколлинеарности. Если точки коллинеарны, единственность из свойства не следует.

Ошибка — заключать, что вся прямая лежит в плоскости, если с ней совпадает только одна точка прямой. Одна точка не сообщает, где находятся остальные точки прямой, хотя по рисунку может казаться, что она проходит по плоскости. Для проверки найди две точки этой прямой, принадлежащие плоскости. Только тогда можно применить соответствующее свойство.

Ошибка — считать, что две плоскости с общей точкой обязательно совпадают. Такое рассуждение смешивает наличие общей точки с полным совпадением плоскостей. Они могут быть различными и пересекаться по прямой. Проверь, известно ли, что все точки одной плоскости принадлежат другой: одной общей точки для этого недостаточно.

Ошибка — принимать нарисованный контур за границу самой плоскости. На рисунке плоскость показывают ограниченным параллелограммом, но в геометрии она бесконечна. Контур нужен лишь для наглядности и не означает, что точки за его краями не принадлежат плоскости. Проверяй себя: используй свойства объекта, а не размеры его изображения.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны планиметрические представления о точке, прямой и принадлежности точки прямой. Без них трудно читать записи о том, что точка принадлежит прямой или плоскости, и понимать условия свойств. Стереометрия сохраняет эти знакомые объекты, но рассматривает их в пространстве.

Основные свойства пространства станут опорой для тем о взаимном расположении прямых и плоскостей. Они также нужны при доказательстве теорем стереометрии: позволяют обосновать, что точки, прямые и плоскости действительно связаны так, как требуется в рассуждении. Поэтому в каждой задаче сначала выделяй объекты и проверяй условия применяемого свойства.

Что запомнить

• Через три неколлинеарные точки проходит ровно одна плоскость.
• Две точки прямой, принадлежащие плоскости, означают, что вся прямая лежит в ней.
• Две плоскости с общей точкой имеют общую прямую.
• Аксиомы принимаются без доказательства.
• Плоскость на чертеже изображают только частично.