1. Прямые и плоскости в пространстве

Определения и обозначения

Точка — основное геометрическое понятие, которое указывает положение в пространстве и не имеет размеров. Её обозначают заглавной латинской буквой: A, B, C. Несколько точек помогают указать, где проходит прямая или как расположены другие объекты.

Прямая — основное геометрическое понятие, не имеющее ширины и толщины и бесконечно продолжающееся в обе стороны. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней: AB. Любые две точки прямой принадлежат ей, поэтому точки позволяют обозначить и определить эту прямую.

Плоскость — основное понятие стереометрии, представляющее собой бесконечную ровную поверхность. Её обозначают строчной греческой буквой, например α, или тремя точками, не лежащими на одной прямой. На чертеже часть плоскости изображают в виде параллелограмма, но нужно помнить: это лишь условное изображение её фрагмента.

Принадлежность показывает, находится ли объект на другом объекте: запись A ∈ α означает, что точка A лежит в плоскости α, а A ∉ α — что не лежит. Для прямой используют тот же смысл обозначений, например B ∈ a. Такие записи кратко фиксируют условия задачи и помогают не путать принадлежность с пересечением.

Как это устроено

В стереометрии одних точек и прямых недостаточно: приходится описывать поверхности и положение объектов по разные стороны от них. Для этого вводят плоскость, как в планиметрии задают фигуры на плоскости, а в пространстве изучают ещё и расположение самих плоскостей. Свойства точек, прямых и плоскостей принимают без доказательства и называют аксиомами стереометрии. Это исходные правила, на которых строятся дальнейшие доказательства.

Аксиома утверждает: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поэтому три такие точки не просто принадлежат какой-то плоскости — они определяют её однозначно. Если бы через них проходили две разные плоскости, нарушилось бы условие единственности. Условие о непрямой расположенности точек нужно потому, что три точки на одной прямой не выделяют одну плоскость.

Через прямую и точку вне неё проходит ровно одна плоскость. Чтобы увидеть почему, выберем на прямой две разные точки: вместе с точкой вне прямой они образуют три точки, не лежащие на одной прямой. По аксиоме через них проходит единственная плоскость; она содержит выбранные точки, а значит, и всю прямую. Поэтому другая плоскость, содержащая и эту прямую, и внешнюю точку, существовать не может.

Две пересекающиеся прямые имеют общую точку; возьмём также по одной точке на каждой прямой, отличной от точки пересечения. Получатся три точки, не лежащие на одной прямой, а значит, они задают единственную плоскость, содержащую обе прямые. Параллельные прямые не имеют общей точки, поэтому этот способ к ним напрямую не применить. Однако через одну прямую и точку второй прямой проходит единственная плоскость; она содержит и вторую прямую, поскольку две её точки лежат в этой плоскости.

Ещё одна аксиома устанавливает: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Она позволяет перейти от нескольких известных точек к утверждению о прямой целиком. Другая аксиома описывает взаимное расположение плоскостей: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Эта прямая целиком принадлежит обеим плоскостям, поэтому у них есть не только одна общая точка.

Какими элементами можно задать плоскость

Пользуйся таблицей, чтобы выбрать способ задания плоскости по элементам, указанным в условии. Сначала проверь условие: например, три точки должны быть не на одной прямой, а точка во втором случае — не принадлежать прямой. После этого можно сослаться на соответствующую аксиому или вывести нужный факт из неё.

Разбор задач

Задача 1. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Здесь важно заметить, что условие специально исключает случай, когда все три точки находятся на одной прямой. Тогда применима аксиома о плоскости через три точки.

1. Проверяем условие: точки не лежат на одной прямой.
2. По аксиоме через любые три такие точки проходит плоскость.
3. Та же аксиома говорит, что эта плоскость единственная.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2. Прямая проходит через две точки плоскости. Докажите, что вся прямая лежит в этой плоскости. Требуется обосновать не только положение двух известных точек, но и каждой точки прямой. Для этого применяют аксиому о прямой, проходящей через две точки плоскости.

1. Обозначим точки прямой A и B; по условию A и B принадлежат плоскости α.
2. Точки A и B лежат на рассматриваемой прямой.
3. По аксиоме, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Ответ: прямая целиком лежит в плоскости α.

Задача 3. Две плоскости имеют общую точку. Докажите, что они пересекаются по прямой, и укажите, какие ещё общие точки у них есть. Здесь нельзя ограничиться одной известной точкой: нужно применить аксиому, описывающую пересечение плоскостей. Она даёт целый общий объект — прямую.

1. Обозначим плоскости α и β. Они различны и имеют общую точку по условию.
2. По аксиоме стереометрии такие плоскости пересекаются по прямой l.
3. Прямая l целиком принадлежит обеим плоскостям, поэтому каждая её точка общая для α и β.

Ответ: плоскости пересекаются по прямой; кроме исходной общей точки, общей является каждая точка этой прямой.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так думают, потому что забывают условие аксиомы; если точки лежат на одной прямой, через эту прямую можно провести разные плоскости. Проверяй, не принадлежат ли все три точки одной прямой, прежде чем делать вывод о единственности.

• Ошибка: утверждать, что две плоскости с общей точкой пересекаются только в ней. Это происходит, когда аксиому о пересечении понимают как факт об одной точке, а не о целой линии. Проверка проста: общая точка задаёт случай пересекающихся плоскостей, а их пересечение — прямая.

• Ошибка: заключать, что прямая лежит в плоскости, зная лишь об одной общей точке. Одна точка подтверждает только пересечение прямой с плоскостью, но не принадлежность всей прямой. Для вывода найди две точки этой прямой в плоскости и примени аксиому.

• Ошибка: считать, что любые прямые в одной плоскости пересекаются. Путают копланарность, то есть принадлежность одной плоскости, с пересечением. Копланарные прямые могут быть параллельными; проверь, имеют ли они общую точку, прежде чем называть их пересекающимися.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны планиметрические свойства точки и прямой, а также представления о параллельных и пересекающихся прямых. Они помогают понять, какие точки определяют прямую и какие пары прямых могут лежать в одной плоскости. Без этих знаний трудно обосновать способы задания плоскости.

Аксиомы о прямых и плоскостях становятся основой для дальнейшего изучения параллельности и перпендикулярности в стереометрии. Сначала нужно научиться определять принадлежность и пересечение объектов, а затем — сравнивать их направления и углы. Так пространственные задачи опираются на уже знакомые свойства.

При построении сечений многогранников важно находить точки, в которых плоскость пересекает рёбра, и определять линии пересечения. Умение задавать плоскость помогает понять, где проходит искомое сечение. Аксиома о прямой в плоскости позволяет продолжать построение по двум найденным точкам.

Что запомнить

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
• Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.
• Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости.
• Пересечение двух различных плоскостей, имеющих общую точку, — прямая.