"Геометрия", Погорелов А.В.
Тело вращения получается, когда плоскую фигуру поворачивают вокруг прямой. Так возникают знакомые цилиндр, конус и шар: у каждого свои части и связь с исходной фигурой. Например, сторона прямоугольника задаёт высоту цилиндра, а катеты прямоугольного треугольника при вращении становятся высотой и радиусом конуса. Понимание этого способа помогает находить элементы тел, а позже — разбирать их сечения, поверхности и объёмы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тело вращения — тело, которое получают вращением плоской фигуры вокруг прямой, называемой осью вращения. При повороте фигура заметает в пространстве некоторую область. Это понятие помогает понять, как из простой плоской фигуры возникает объёмное тело.
Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. У него есть два равных круглых основания и боковая поверхность, соединяющая их. Такое определение позволяет увидеть, какие части цилиндра появляются из сторон прямоугольника.
Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У конуса есть круглое основание, вершина и боковая поверхность. Связь с треугольником помогает находить высоту и радиус основания по его катетам.
Шар — тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. Поверхность, ограничивающую шар, называют сферой; значит, шар включает и внутреннюю часть, а сфера — только оболочку. Это различие нужно, чтобы не путать тело и его поверхность.
Представь, что фигура поворачивается вокруг неподвижной прямой. Точка фигуры, не лежащая на этой прямой, движется по окружности, а центр этой окружности находится на оси вращения. Поэтому при повороте сразу многих точек образуются поверхности и объёмное тело. Точки на самой оси остаются на месте, поскольку расстояние от них до оси равно нулю.
Если прямоугольник вращать вокруг одной из сторон, эта сторона остаётся на оси, а параллельная ей противоположная сторона описывает круг. Две остальные стороны при движении проходят по круговым траекториям и образуют края круглых оснований. Поскольку эти стороны равны, основания имеют одинаковый радиус; поверхность, заметённая противоположной стороне, становится боковой. Длина стороны на оси равна расстоянию между основаниями, поэтому она задаёт высоту цилиндра.
У прямоугольного треугольника при вращении вокруг катета этот катет остаётся на оси и задаёт высоту конуса. Второй катет вращается и очерчивает круг: его длина становится радиусом основания. Гипотенуза соединяет конец оси с краем основания, поэтому при движении она заметает боковую поверхность. Вершина получается там, где гипотенуза и оба катета сходятся на оси.
При вращении полукруга вокруг диаметра его крайняя дуга проходит через все направления вокруг оси. Каждая точка полукруга движется по окружности, а вся фигура заполняет область, равную шару. Точки дуги находятся от центра полукруга на расстоянии его радиуса, поэтому они образуют сферу. Расстояние от центра до поверхности и есть радиус шара, равный радиусу исходного полукруга.
Ось вращения — прямая, вокруг которой поворачивают фигуру, а образующая — линия исходной фигуры, движение которой создаёт часть поверхности. У цилиндра на оси лежит сторона прямоугольника, у конуса — катет треугольника, у шара — диаметр полукруга. Другие стороны или линии движутся и заметáют поверхности тел. Сопоставление этих элементов помогает не путать ось с радиусом: радиус показывает расстояние от оси до круговой границы.
| Тело | Какая фигура вращается | Ось вращения | Основные части |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | Прямоугольник | Одна из сторон прямоугольника | Два равных круглых основания, боковая поверхность |
| Конус | Прямоугольный треугольник | Один из катетов | Круглое основание, вершина, боковая поверхность |
| Шар | Полукруг | Диаметр полукруга | Внутренность и ограничивающая её сферическая поверхность |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найди исходную фигуру и прямую, вокруг которой её вращают. Затем проследи, какие части фигуры остаются на оси, а какие задают границы тела. Так можно определить тип тела и его основные элементы.
Прямоугольник вращают вокруг одной из его сторон. Нужно определить, какое тело получается, и найти сторону, задающую его высоту. Для этого достаточно сопоставить движение прямоугольника с определением тела вращения. Сторона, вокруг которой происходит вращение, остаётся на оси.
Ответ: получается цилиндр; его высоту задаёт сторона прямоугольника, вокруг которой происходит вращение.
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Треугольник вращают сначала вокруг катета 3 см, затем вокруг катета 4 см. В каждом случае один катет становится осью, а другой описывает круг основания. Поэтому после каждого вращения нужно заново определить, какой катет задаёт высоту, а какой — радиус.
Ответ: в первом случае конус с высотой 3 см и радиусом основания 4 см; во втором — с высотой 4 см и радиусом 3 см.
Полукруг радиуса 5 см вращают вокруг его диаметра. Требуется назвать тело, ось и радиус, а также отличить тело от его поверхности. Диаметр полукруга совпадает с осью вращения, а точки дуги во время поворота образуют внешнюю границу. Радиус не меняется при вращении.
Ответ: шар радиуса 5 см; его ось вращения — диаметр полукруга. Шар включает внутреннюю часть, сфера является только его поверхностью.
Называть шаром только его поверхность. Так происходит, если слова «шар» и «сфера» считают синонимами. Но шар включает внутренние точки, а сфера состоит только из точек на границе. Проверь себя вопросом: имеется ли в виду всё тело или лишь его оболочка?
Приписывать цилиндру вершину. Эту ошибку допускают, перенося на цилиндр знакомое свойство конуса. У цилиндра нет вершины: его основные части — два равных круглых основания и боковая поверхность. Чтобы проверить ответ, вспомни, что при вращении прямоугольника вокруг стороны остаются два круглых основания, а не одна вершина.
Путать ось вращения с радиусом основания. Ось — прямая, вокруг которой поворачивают фигуру; радиус — расстояние от этой прямой до круговой границы. Ошибка возникает, когда ось и расстояние до неё воспринимают как один элемент. Проверь себя: ось проходит через центр основания, а радиус соединяет центр с окружностью.
Считать радиусом конуса катет на оси. Этот катет задаёт высоту, потому что остаётся неподвижным при вращении. Радиусом становится другой катет: он отходит от оси и описывает круг основания. Для проверки обозначь катет на оси первым, а затем спроси, какая длина показывает расстояние до края круга.
Чтобы разбираться в телах вращения, нужно знать прямоугольник и прямоугольный треугольник, а также различать круг и окружность. Понятия радиуса и диаметра помогают описывать основания цилиндра и конуса, шар и его сферу. Позже эти знания пригодятся при изучении сечений — фигур, полученных пересечением тела с плоскостью. Они также понадобятся для вычисления площадей поверхностей и объёмов.
Что называют телом вращения?
Это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг прямой, которую называют осью вращения. При этом точки фигуры движутся по окружностям с центрами на оси.
Как из прямоугольника получить цилиндр?
Нужно вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон. Эта сторона становится осью и задаёт высоту цилиндра, а противоположная ей сторона определяет радиус круглых оснований.
Как определить высоту и радиус конуса по вращаемому треугольнику?
Прямоугольный треугольник вращают вокруг одного из катетов. Катет на оси задаёт высоту конуса, а второй катет становится радиусом основания.
Чем шар отличается от сферы?
Шар — это всё тело, включая внутренние точки. Сфера — только поверхность, которая ограничивает шар.
Какая фигура при вращении образует шар?
Шар образуется при вращении полукруга вокруг его диаметра. Радиус полукруга становится радиусом шара.
136. Тела вращения
