§ 6. Тела вращения

Определения и обозначения

Тело вращения — тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в её плоскости. Эта прямая называется осью вращения: она задаёт направление, относительно которого строится тело, и помогает увидеть его симметрию. Понятие нужно, чтобы описывать, как из плоской фигуры получается пространственная.

Цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Круги, которые образуют концы прямоугольника, называют основаниями, соединяющую их боковую часть — боковой поверхностью; сторона-ось задаёт ось и высоту, а противоположная ей сторона становится образующей и задаёт радиус основания. Эти названия позволяют отличать элементы цилиндра друг от друга.

Конус получают вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Круг, который описывает другой катет, является основанием, общий конец катетов становится вершиной; катет-ось задаёт высоту, а гипотенуза — образующую. Такое соответствие помогает распознать элементы конуса по исходному треугольнику.

Шар — тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. Точки полукруга заметает всё пространство внутри границы, а сама граница называется сферой. Различие важно: шаром называют тело целиком, сферой — только его поверхность.

Как это устроено

При вращении каждая точка плоской фигуры движется по окружности, центр которой лежит на оси вращения, а радиус равен расстоянию от точки до оси. Поэтому фигура заметает некоторую область пространства, которая и становится телом. Граница исходной фигуры при движении создаёт поверхность тела, а неподвижная ось задаёт направление его симметрии: поворот вокруг неё не меняет форму.

Представим прямоугольник, вращающийся вокруг одной из сторон. Сторона, совпадающая с осью, остаётся на месте и становится высотой цилиндра, а параллельная ей противоположная сторона движется по окружности и заметает боковую поверхность. Две остальные стороны вращаются вместе с прямоугольником и заполняют круги на его концах — основания. Длина каждой из них равна расстоянию до оси, поэтому она задаёт радиус основания.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета этот катет остаётся на оси, а второй катет описывает круг. Поскольку второй катет перпендикулярен оси, радиус этого круга равен расстоянию от оси до его конца, а сам круг служит основанием конуса. Гипотенуза при движении заметает наклонную боковую поверхность; катет-ось перпендикулярен плоскости основания, поэтому становится высотой.

Если вращать полукруг вокруг его диаметра, каждая точка полукруга описывает окружность с центром на диаметре. Радиус такой окружности равен расстоянию точки до диаметра, поэтому окружности располагаются внутри шара и вместе заполняют его. Точки дуги полукруга при вращении образуют наружную границу, то есть сферу. В результате сам диаметр становится осью и проходит через центр шара.

Осевое сечение — сечение тела плоскостью, проходящей через его ось. У цилиндра такая плоскость пересекает основания по их диаметрам, а боковую поверхность — по двум параллельным отрезкам, поэтому сечение является прямоугольником. У конуса она проходит через вершину и диаметр основания, отчего получается равнобедренный треугольник. У шара любое сечение плоскостью является кругом, а если плоскость проходит через центр, его радиус равен радиусу шара.

Как получают основные тела вращения и из каких элементов они состоят

Сначала найдите в столбце с исходной фигурой и осью то движение, которое описано в условии. Затем сопоставьте стороны фигуры с элементами тела и проверьте себя по форме осевого сечения. Для шара помните, что в таблице указана форма сечения, а не плоская фигура, из вращения которой он получен.

Разбор задач

Задача 1. Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращают вокруг стороны длиной 5 см. Какое тело получится и каковы его радиус и высота?

1. Прямоугольник при вращении вокруг своей стороны образует цилиндр, поэтому сначала определяем, какая сторона служит его осью и высотой.

2. Ось совпадает со стороной длиной 5 см, значит, высота цилиндра равна 5 см. Расстояние от оси до противоположной стороны равно 3 см — это радиус основания.

Ответ: цилиндр, радиус основания 3 см, высота 5 см.

Задача 2. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращают вокруг катета длиной 8 см. Назвать элементы полученного тела и найти длину его образующей.

1. Вращение вокруг катета образует конус. Катет длиной 8 см становится высотой, а другой катет задаёт радиус основания, поэтому h = 8 см и r = 6 см.

2. Образующая соответствует гипотенузе исходного треугольника. По теореме Пифагора l² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит, l = 10 см.

Ответ: получился конус с высотой 8 см, радиусом основания 6 см и образующей 10 см. Проверка смысла результата: образующая длиннее высоты, поскольку она является гипотенузой прямоугольного треугольника.

Задача 3. Круг радиуса 5 см пересечён плоскостью на расстоянии 3 см от центра. Найти радиус сечения и объяснить, почему сечение шара является кругом.

1. Рассматриваем шар радиуса 5 см и плоскость, отстоящую от его центра на 3 см. Центр кругового сечения лежит на перпендикуляре, опущенном из центра шара на плоскость.

2. Соединим центр шара с точкой края сечения. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и катетами 3 см и r, где r — радиус сечения.

3. По теореме Пифагора r² + 3² = 5², поэтому r² = 25 − 9 = 16 и r = 4 см. Круглая форма сечения объясняется тем, что все точки сферы на одинаковом расстоянии от центра сечения образуют окружность.

Ответ: радиус сечения равен 4 см.

Типичные ошибки

• Называть шаром только его границу — значит смешивать тело с поверхностью. Ошибку допускают, потому что в обычной речи слова иногда используют как синонимы; в геометрии граница шара называется сферой. Проверьте себя: если речь идёт только о поверхности, используйте слово «сфера».

• Путать радиус основания цилиндра или конуса с высотой — значит приписывать одной стороне две разные роли. Это происходит, когда стороны исходной фигуры не сопоставляют с осью вращения. Проверьте: высота лежит на оси или перпендикулярна основанию, а радиус идёт от оси до края основания.

• Считать образующую конуса его высотой неверно, потому что образующая наклонена к основанию, а высота перпендикулярна ему. Путаница возникает из-за того, что обе величины соединяют вершину с основанием. Проверьте чертёж: высота образует прямой угол с плоскостью основания, а образующая идёт по боковой поверхности.

• Не всякое сечение шара является большим кругом: большой круг появляется только тогда, когда плоскость проходит через центр. Часто это свойство переносят на сечения, которые расположены в стороне от центра. Проверьте расстояние от центра до плоскости: если оно не равно нулю, радиус сечения меньше радиуса шара.

Связь с другими темами

Для изучения тел вращения нужно понимать, как плоская фигура движется вокруг прямой, знать свойства прямоугольника и прямоугольного треугольника, а также уметь применять теорему Пифагора. Эти знания связывают стороны исходной фигуры с высотой, радиусом и образующей пространственного тела. Позже представления о цилиндре, конусе и шаре понадобятся при вычислении площадей поверхностей и объёмов. Они также помогают строить чертежи и решать стереометрические задачи, где требуется увидеть сечение или взаимное расположение элементов.

Что запомнить

• Тело вращения получают вращением плоской фигуры вокруг оси.

• Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг его стороны.

• Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.

• Шар получается вращением полукруга вокруг диаметра.

• Осевое сечение проходит через ось тела.

• Сфера — поверхность шара.