52. Цилиндр

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью, образованной отрезками, соединяющими соответствующие точки кругов. Это объёмная фигура, а не плоский круг: у неё есть основания и боковая часть. Такое описание помогает представить форму цилиндра и отличить его от других тел.

Основания цилиндра — равные круги, лежащие в параллельных плоскостях. Радиус каждого основания обозначают r; радиусы равны, потому что сами круги равны. Радиус нужен для вычисления длины окружности и площади основания.

Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. У прямого цилиндра образующая перпендикулярна плоскостям оснований, а у наклонного расположена под углом к ним. Образующие показывают направление боковой поверхности и помогают определить, прямой цилиндр или наклонный.

Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры его оснований, а высота — расстояние между плоскостями оснований. Высоту обозначают h; она измеряется перпендикулярно плоскостям, а не вдоль любой наклонной образующей. Эти величины нужны для описания положения оснований и вычисления площадей.

Как это устроено

Представим круг, который перемещается параллельно самому себе: все его точки одновременно проходят одно и то же расстояние в одном направлении. Начальное и конечное положения круга становятся основаниями цилиндра, а точки окружности во время движения описывают боковую поверхность. Если перенос перпендикулярен плоскости круга, получается прямой цилиндр; если направлен наклонно — наклонный.

Основания равны, потому что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками и форму фигуры. Их плоскости параллельны, поскольку круг перемещается, не поворачиваясь, и остаётся параллельным самому себе. Каждая точка окружности при движении проходит отрезок, соединяющий её с соответствующей точкой другой окружности; эти отрезки и являются образующими боковой поверхности.

У прямого цилиндра образующая перпендикулярна обеим плоскостям оснований. Высота тоже измеряется по перпендикуляру между этими плоскостями, поэтому в прямом цилиндре высота и образующая направлены одинаково и имеют одинаковую длину: образующая равна h. У наклонного цилиндра образующая идёт наискосок, тогда как высота остаётся кратчайшим расстоянием между плоскостями, и равенство уже не выполняется.

Осевое сечение получают, проводя плоскость через ось цилиндра. Эта плоскость пересекает боковую поверхность по двум образующим, а каждое основание — по диаметру, потому что линия сечения проходит через центр круга. Для прямого цилиндра образующие перпендикулярны диаметрам оснований, поэтому сечение является прямоугольником со сторонами h и 2r. Диаметр, а не радиус, входит в его ширину: сечение пересекает круг насквозь через центр.

Чтобы получить развертку боковой поверхности, её мысленно разрезают вдоль образующей и разворачивают на плоскости. Она становится прямоугольником: одна сторона равна высоте h, а другая — длине окружности основания 2πr, ведь при разворачивании окружность превращается в прямой отрезок. Площадь этого прямоугольника равна произведению сторон, поэтому Sбок = 2πrh. Полная поверхность состоит из боковой части и двух оснований, значит Sполн = 2πrh + 2πr².

Элементы и характеристики прямого цилиндра

Сначала найдите в таблице нужную величину и проверьте, прямой ли цилиндр рассматривается: равенство образующей и высоты относится только к нему. Для площади полной поверхности подставляйте радиус, а не диаметр, и учитывайте оба основания. Если дана развертка, её стороны сопоставляйте с h и 2πr.

Разбор задач

Образующая и осевое сечение

Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Нужно назвать длину образующей и стороны осевого сечения. Поскольку речь идёт о прямом цилиндре, его образующая равна высоте. В осевом сечении ширина — диаметр основания, а высота прямоугольника совпадает с высотой цилиндра.

1. Для прямого цилиндра l = h, значит l = 5 см.
2. Диаметр основания равен 2r = 2 · 3 = 6 см.
3. Стороны осевого сечения — 6 см и 5 см.

Ответ: образующая равна 5 см; стороны осевого сечения — 6 см и 5 см.

Площади поверхностей

Радиус основания равен 4 см, высота — 7 см. Требуется найти боковую и полную площади поверхности. Площадь боковой части можно вычислить как площадь прямоугольника развертки: длина окружности основания умножается на высоту. Для полной площади к боковой добавляют площади двух равных кругов.

1. Sбок = 2πrh = 2π · 4 · 7 = 56π см².
2. Площадь одного основания равна πr² = 16π см², двух оснований — 32π см².
3. Sполн = 56π + 32π = 88π см².

Ответ: площадь боковой поверхности — 56π см², полной поверхности — 88π см².

Размеры по развертке

Развертка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 10π см и 6 см; высота цилиндра больше радиуса основания. Нужно определить радиус и высоту. Одна сторона прямоугольника равна h, другая — 2πr, но из условия не ясно, какая именно сторона соответствует высоте. Поэтому проверим оба соответствия, а не будем выбирать их наугад.

1. Если h = 10π, то 2πr = 6, откуда r = 3/π см. Условие h > r выполняется.
2. Если h = 6, то 2πr = 10π, откуда r = 5 см. Здесь также выполняется h > r, так как 6 > 5.
3. Оба варианта подходят, следовательно, по данным задачи единственную пару размеров определить нельзя.

Ответ: возможны (h = 10π см, r = 3/π см) и (h = 6 см, r = 5 см); условие не задаёт единственного решения.

Типичные ошибки

• Называть цилиндр кругом или окружностью — значит смешивать объёмное тело с плоскими фигурами. Такую ошибку допускают, потому что с основаниями цилиндра знакомы раньше, чем с самим телом. Проверьте себя: у цилиндра есть не только круги-основания, но и боковая поверхность.

• Считать, что образующая любого цилиндра равна высоте, неверно: равенство выполняется лишь для прямого цилиндра. Его легко принять за общее свойство, если рассматривать только вертикальное изображение. Сначала выясните, перпендикулярны ли образующие основаниям; для наклонного цилиндра равенство не гарантировано.

• В осевом сечении указывать радиус вместо диаметра — значит измерять только половину ширины прямоугольника. Путаница возникает из-за того, что радиус чаще всего дан в условии. Проверьте, проходит ли линия сечения через центр от края круга до противоположного края: это диаметр 2r.

• В формуле полной площади учитывать одно основание или забывать боковую часть — значит пропустить часть поверхности тела. Ошибка появляется, когда формулу записывают по памяти, не разбивая поверхность на составляющие. Проверьте запись по частям: Sполн = 2πrh + 2πr², то есть боковая поверхность плюс два основания.

Связь с другими темами

Для изучения цилиндра нужны понятия круга, окружности, радиуса и диаметра, а также формула длины окружности 2πr. При построении сечений пригодятся знания о параллельных плоскостях и перпендикулярах: они помогают различать высоту и наклонную образующую. Сечения многогранников дают опыт работы с пересечением пространственного тела плоскостью. Позже цилиндр и его развертка помогут изучать площади и объёмы тел вращения.

Что запомнить

• Основания цилиндра — равные круги в параллельных плоскостях.
• Ось проходит через центры оснований.
• Высота — расстояние между плоскостями оснований.
• У прямого цилиндра образующая равна высоте.
• Осевое сечение прямого цилиндра — прямоугольник со сторонами 2r и h.
• Sбок = 2πrh.
• Sполн = 2πrh + 2πr².