"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Цилиндр — геометрическое тело с двумя равными круглыми основаниями в параллельных плоскостях и боковой поверхностью между ними. Его можно представить как круг, перенесённый параллельно самому себе, или как тело, полученное вращением прямоугольника. Чтобы описывать цилиндр и решать задачи, нужно различать его высоту и образующую, понимать устройство осевого сечения и связывать развёртку боковой поверхности с длиной окружности основания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, боковая поверхность которого образована параллельными отрезками, соединяющими точки двух равных кругов в параллельных плоскостях. Такие отрезки переносят один круг к другому, а всё тело включает и боковую поверхность, и оба круга. Это определение помогает увидеть, из каких частей состоит цилиндр. В задачах круги обычно называют основаниями.
Основания цилиндра — два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях. Их центры соединяет ось цилиндра, поэтому ось показывает направление от одного основания к другому. Радиус основания обозначают r, он нужен, например, чтобы найти диаметр 2r или длину окружности 2πr. Равенство оснований означает, что у них одинаковы радиусы.
Высота цилиндра — расстояние между плоскостями оснований, а ось — прямая, проходящая через центры оснований. Высота показывает кратчайшее расстояние между плоскостями и перпендикулярна им. У прямого цилиндра ось тоже перпендикулярна основаниям, поэтому её отрезок внутри тела равен высоте. Эти понятия особенно важно не смешивать с длиной наклонной образующей.
Образующая цилиндра соединяет соответствующие точки окружностей оснований, а все такие отрезки вместе составляют боковую поверхность. У прямого цилиндра образующие перпендикулярны основаниям; у наклонного они идут под углом к ним. Образующие задают направление боковой поверхности. Их длина равна высоте только у прямого цилиндра.
Цилиндр можно получить параллельным переносом круга: каждую его точку перемещают на одинаковое расстояние в одном направлении. Перенос сохраняет форму и размер круга, поэтому конечное сечение будет равным исходному и лежать в параллельной плоскости. Точки границы круга при движении проходят отрезки, которые образуют боковую поверхность. Так становится понятно, почему в определении цилиндра появляются равные основания и параллельные образующие.
Прямой круговой цилиндр можно представить как результат вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Вращаемая сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра, а противоположная ей параллельная сторона описывает окружность. Длина стороны, вокруг которой вращают прямоугольник, задаёт высоту, а расстояние до противоположной стороны — радиус основания. Остальные стороны при вращении заметут боковую поверхность.
Если пересечь цилиндр плоскостью, перпендикулярной его оси, получится круг, равный основанию: такая плоскость отсекает цилиндр в направлении, поперечном его длине. Для прямого кругового цилиндра сечение плоскостью, проходящей через ось, называют осевым. Оно проходит через центры оснований, поэтому в каждом основании его следом будет диаметр. Боковые стороны этого сечения — образующие, перпендикулярные основаниям, и потому осевое сечение представляет собой прямоугольник.
У прямого цилиндра образующая перпендикулярна основаниям, как и высота, поэтому их длины совпадают. У наклонного цилиндра отрезки-образующие наклонены к плоскостям оснований, тогда как высота измеряется перпендикулярно между этими плоскостями. Наклонный отрезок между плоскостями длиннее перпендикулярного расстояния. Поэтому нельзя автоматически заменять высоту длиной образующей, если не сказано, что цилиндр прямой.
Если разрезать боковую поверхность прямого цилиндра вдоль образующей и развернуть её на плоскости, получится прямоугольник. Его высота равна высоте цилиндра, а длина — длине окружности основания, потому что именно столько нужно пройти по окружности, чтобы обойти основание целиком. К этому прямоугольнику присоединяют два равных круга-основания. Развёртка помогает находить площадь боковой поверхности: это площадь прямоугольника, то есть произведение высоты на длину окружности основания.
В таблице собраны названия элементов и связи, которые чаще всего используются при решении задач. Сначала определите, какая величина известна, затем найдите в последнем столбце подходящее соотношение. Например, радиус позволяет получить диаметр осевого сечения, а высота — одну из сторон этого сечения.
| Элемент или характеристика | Что означает | Связь с другими элементами |
|---|---|---|
| Основания | Два равных круга в параллельных плоскостях | Радиусы и диаметры оснований равны |
| Радиус основания | Расстояние от центра основания до его окружности | Диаметр равен 2r, длина окружности — 2πr |
| Ось | Прямая через центры оснований | У прямого цилиндра перпендикулярна основаниям |
| Высота | Расстояние между плоскостями оснований | У прямого цилиндра равна образующей |
| Образующая | Отрезок между соответствующими точками окружностей | У прямого цилиндра перпендикулярна основаниям |
| Осевое сечение | Сечение плоскостью через ось | Прямоугольник со сторонами h и 2r |
| Развёртка боковой поверхности | Прямоугольник после разворачивания поверхности | Его стороны равны h и 2πr |
У прямого кругового цилиндра радиус основания равен 3 см, а высота — 5 см. Назовите его основания, ось, образующую и укажите длину образующей. Сначала нужно сопоставить каждую названную часть с определением: численные данные сами по себе не задают буквенных обозначений. Затем используем свойство прямого цилиндра, в котором образующая равна высоте.
Ответ: основания — два равных круга радиуса 3 см, ось проходит через их центры, образующая соединяет соответствующие точки окружностей; её длина равна 5 см. Радиус основания здесь не является длиной образующей. Равенство образующей и высоты использовано именно потому, что цилиндр прямой.
Радиус основания прямого кругового цилиндра равен 4 см, высота — 7 см. Найдите стороны осевого сечения и его площадь. Осевое сечение проходит через ось, поэтому его сторона в основании цилиндра проходит через центр круга и является диаметром. Другую сторону задают образующие, длина которых у прямого цилиндра равна высоте.
Ответ: стороны осевого сечения — 8 см и 7 см, площадь — 56 см². Перед вычислением полезно проверить, что шириной сечения служит диаметр, а не радиус. Полученная единица площади — квадратный сантиметр.
Развёртка боковой поверхности прямого кругового цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна 6 см, а другая — 10π см. Найдите радиус основания и площадь боковой поверхности. У прямоугольника развёртки одна сторона задаёт высоту, а другая — длину окружности основания. Поскольку в условии не уточняется, какая из сторон как названа, достаточно распознать длину окружности по выражению 10π см.
Ответ: радиус основания равен 5 см, площадь боковой поверхности — 60π см². Сторона 6 см является высотой, а 10π см — длиной окружности основания. Проверка радиуса: окружность радиуса 5 см действительно имеет длину 2π · 5 = 10π см.
Считать высотой длину образующей у любого цилиндра. Так ошибаются, перенося свойство прямого цилиндра на наклонный: у наклонного образующая идёт под углом, а высота измеряется перпендикулярно плоскостям оснований. Проверьте, указан ли прямой цилиндр; если нет, не приравнивайте эти величины.
Называть цилиндром только боковую поверхность. Это происходит из-за того, что боковая часть заметна на рисунке и кажется главным элементом. Но тело включает также оба основания; при ответе на вопрос о составе цилиндра проверьте, учтены ли все три части.
Брать радиус вместо диаметра в осевом сечении. Осевое сечение проходит через центр основания, поэтому его ширина пересекает круг насквозь и равна двум радиусам. Перед вычислением запишите 2r и сравните с условием: ширина не должна составлять только половину диаметра.
Считать, что сторона развёртки равна радиусу основания. Эту ошибку допускают, смешивая расстояние от центра круга до окружности с длиной пути по окружности. В развёртке эта сторона равна 2πr; проверить себя можно по единицам: она должна соответствовать длине всей окружности.
Для изучения цилиндра нужны знания об окружности и круге, параллельных плоскостях и перпендикулярности прямой и плоскости. Формулы длины окружности и площади круга помогают работать с основаниями и развёрткой, а формула площади прямоугольника — находить площадь боковой поверхности. Основанное на этих понятиях представление о цилиндре пригодится при изучении конуса, других тел вращения, поверхностей и объёмов геометрических тел.
Чем цилиндр как тело отличается от его боковой поверхности?
Цилиндр как тело включает боковую поверхность и два основания-круга. Боковая поверхность — только часть, соединяющая окружности оснований; без самих кругов она не образует всё тело.
Может ли образующая цилиндра быть не перпендикулярна основаниям?
Да, у наклонного цилиндра образующие не перпендикулярны основаниям. У прямого цилиндра они перпендикулярны основаниям, поэтому совпадают по длине с высотой.
Почему осевое сечение прямого цилиндра является прямоугольником?
Осевое сечение проходит через ось, а значит, содержит диаметры обоих оснований. Его боковые стороны — образующие прямого цилиндра, перпендикулярные основаниям, поэтому углы сечения прямые.
Как найти стороны прямоугольника в развёртке боковой поверхности?
Одна сторона равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания. Если радиус основания равен r, длина окружности равна 2πr.
Всегда ли высота цилиндра равна длине его образующей?
Нет, это верно для прямого цилиндра. У наклонного цилиндра высота измеряется перпендикулярно между плоскостями оснований, а образующая наклонена и длиннее высоты.
§ 1. Цилиндр
