3.5. Преобразование подобия

Определения и обозначения

Преобразование подобия — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в одно и то же число раз. Иначе говоря, у каждой пары точек есть образы, и правило преобразования одинаково для всех пар. Это определение позволяет сравнивать фигуры независимо от их положения на плоскости.

Коэффициент подобия — положительное число k, равное отношению расстояния между образами точек к расстоянию между исходными точками. Если исходное расстояние равно d, то расстояние между образами равно kd. Коэффициент нужен, чтобы выразить, во сколько раз изменились размеры фигуры.

Подобные фигуры — фигуры, одна из которых получается из другой преобразованием подобия. У них одинаковая форма, хотя размеры могут различаться. Понятие позволяет устанавливать соответствие между фигурами и сравнивать их стороны, углы, периметры и площади.

Движение — преобразование, сохраняющее расстояния; это частный случай преобразования подобия с коэффициентом 1. При таком преобразовании фигура может переместиться или повернуться, но её размеры не изменятся. Это определение помогает отличить подобие, допускающее изменение масштаба, от преобразования без изменения длин.

Как это устроено

Коэффициент подобия один и тот же для любой пары точек — это часть определения преобразования. Если расстояние между точками A и B равно d, то расстояние между их образами A′ и B′ равно kd; то же правило действует для любой другой пары. Благодаря этому все отрезки фигуры изменяются согласованно, а не каждый по отдельному правилу. Например, при k = 2 каждый отрезок становится вдвое длиннее.

Преобразование подобия сохраняет углы, потому что оно умножает длины всех отрезков на одинаковое число. В треугольнике отношение любых двух сторон после преобразования не меняется: (ka)/(kb) = a/b. По теореме косинусов косинус угла определяется отношением сторон и квадратов их длин, а при умножении всех длин на k общий множитель сокращается. Значит, косинусы и сами углы соответствующих треугольников остаются прежними.

Преобразование подобия можно выполнить в два этапа: сначала увеличить или уменьшить фигуру гомотетией с коэффициентом k, затем применить движение — например, перенос или поворот. Гомотетия меняет каждое расстояние в k раз и сохраняет направление лучей, выходящих из её центра; движение может изменить расположение фигуры, но не её размеры. Поэтому после этих действий получаем тот же масштаб и нужное положение образа. Такое представление помогает наглядно понять, почему подобие сочетает изменение размера с перемещением.

Если фигуры соответствуют друг другу при подобии, то длина каждой стороны одной фигуры получается умножением соответствующей длины другой на k. Углы при этом равны, потому что подобие сохраняет углы. Периметр — сумма длин сторон, поэтому его слагаемые все умножаются на k, и весь периметр тоже умножается на k. Это позволяет находить неизвестные стороны и периметры по известному коэффициенту.

Площадь меняется не так, как отдельная длина: она зависит от двух линейных размеров. Например, площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину; после подобия она станет (ka)(kb) = k²ab. Для других фигур действует тот же результат: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому при увеличении всех длин в 3 раза площадь возрастает в 9 раз.

Как преобразование подобия меняет фигуру

В столбце со следствием порядок отношений задан как «исходная фигура : образ», поэтому длины и периметры относятся как 1:k, а площади — как 1:k². Для обратного сравнения порядок нужно поменять местами. Таблица помогает быстро выбрать нужное правило: сначала определите, рассматриваете ли вы длину, периметр или площадь.

Разбор задач

Задача 1. Преобразование подобия переводит отрезок длиной 5 см в отрезок длиной 15 см. Найдите коэффициент подобия.

1. Записываем, что коэффициент — это длина образа, делённая на длину исходного отрезка. Так мы не перепутаем порядок сравнения.
2. Подставляем данные: k = 15 : 5 = 3. Полученное число положительно и показывает, что образ втрое длиннее исходного отрезка.

Ответ: k = 3.

Задача 2. При преобразовании подобия коэффициент равен 3. Стороны треугольника равны 2 см, 4 см и 5 см. Найдите стороны образа и отношение площадей.

1. Каждая сторона образа равна соответствующей исходной стороне, умноженной на k. Получаем 2 · 3 = 6 см, 4 · 3 = 12 см и 5 · 3 = 15 см.
2. Проверяем, что длины изменились единообразно: все три стороны умножены на один коэффициент 3. Значит, образ имеет в три раза больший линейный масштаб.
3. Площадь меняется в k² раз, поэтому коэффициент изменения площади равен 3² = 9. Если сравнивать площадь исходного треугольника с площадью образа, их отношение равно 1:9.

Ответ: стороны образа — 6 см, 12 см и 15 см; отношение площадей исходного треугольника и образа — 1:9.

Задача 3. Докажите, что два треугольника являются образами друг друга при преобразовании подобия, если соответствующие стороны одного треугольника в одинаковое число раз больше сторон другого.

1. Обозначим стороны первого треугольника a, b, c, а соответствующие стороны второго — a′, b′, c′. По условию существует одно положительное число k, для которого a′ = ka, b′ = kb и c′ = kc.
2. Треугольники с попарно пропорциональными соответствующими сторонами подобны по признаку подобия по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы у них равны, а длины всех соответствующих сторон отличаются в k раз.
3. Расположим второй треугольник как образ первого: масштаб задаёт гомотетия с коэффициентом k, а нужное положение достигается движением. Следовательно, один треугольник получается из другого преобразованием подобия.

Ответ: треугольники являются образами друг друга при преобразовании подобия с коэффициентом k.

Типичные ошибки

• Путают порядок в коэффициенте. Иногда делят длину исходной фигуры на длину образа, хотя коэффициент задан как отношение образа к исходной фигуре. Ошибку провоцирует то, что обе длины подходят для деления. Перед вычислением подпишите, что стоит в числителе, и проверьте результат: при увеличении образа коэффициент должен быть больше 1.

• Умножают площадь на k. Так делают, перенося правило для длин на площадь. Но площадь зависит от двух линейных размеров, и каждый из них умножается на k. Поэтому нужно использовать k²; проверить ответ можно, представив фигуру прямоугольником со сторонами ka и kb.

• Считают, что фигура обязательно увеличивается. Коэффициент может быть меньше единицы, и тогда все расстояния уменьшаются; при k = 1 размер сохраняется. Такая ошибка возникает, если слово «подобие» связывать только с увеличением. Сверьте k с единицей: k > 1 означает увеличение, 0 < k < 1 — уменьшение.

• Считают любые фигуры с равными углами подобными. Равенства углов сами по себе не гарантируют, что соответствующие стороны пропорциональны с одним коэффициентом. Ученик может проверить только форму углов и не сопоставить длины. Проверьте отношения всех соответствующих сторон: для подобия они должны давать одно и то же число.

Связь с другими темами

Для изучения преобразования подобия полезно знать движения плоскости и их свойство сохранять расстояния, а также гомотетию, которая меняет масштаб фигуры. Отношения отрезков помогают вычислять коэффициент, а признаки подобия треугольников — устанавливать, когда треугольники имеют одинаковую форму. В свою очередь, подобие позволяет решать задачи на масштабы и доказывать геометрические утверждения. Оно связывает свойства преобразований с пропорциями, длинами и площадями.

Что запомнить

• При преобразовании подобия все расстояния умножаются на один положительный коэффициент k.
• Соответствующие углы подобных фигур равны.
• Соответствующие длины относятся как k.
• Периметры подобных фигур относятся как k.
• Площади подобных фигур относятся как k².
• При k = 1 преобразование подобия является движением.