3.4. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором каждая точка перемещается на один и тот же вектор. Это значит, что все точки сдвигаются в одном направлении и на одинаковое расстояние. Такое определение позволяет описать перенос всей фигуры через перемещение каждой её точки.

Вектор переноса — вектор, задающий направление и длину перемещения каждой точки. Обычно его обозначают буквой a или стрелкой над буквой. Зная этот вектор, можно однозначно определить, куда перейдёт любая точка плоскости.

Образ точки при параллельном переносе — точка, в которую переходит исходная точка. Образ точки A обозначают A′, и выполняется равенство AA′ = a, где a — вектор переноса. Эта запись показывает, что направленный отрезок от A к A′ совпадает с заданным вектором.

Движение — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Параллельный перенос является движением, потому что расстояние между каждой парой точек и между их образами одинаково. Понятие движения помогает сравнивать фигуру до и после преобразования без измерения всех её элементов заново.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A, нужно отложить из неё вектор a: его начало поместить в A, а конец обозначить A′. Направление и длина отрезанного шага заданы самим вектором, поэтому положение A′ определено однозначно. Тот же вектор откладывают из каждой другой точки, иначе точки фигуры переместились бы по-разному и преобразование не было бы параллельным переносом.

Пусть точки A и B переходят в A′ и B′. По определению переноса AA′ = BB′ как векторы, то есть эти отрезки параллельны, равны и направлены одинаково. В четырёхугольнике ABB′A′ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, поэтому он является параллелограммом. Противоположные стороны параллелограмма равны, откуда A′B′ = AB: перенос не меняет расстояние между выбранными точками.

Рассмотрим точки одной прямой и перенесём каждую одним и тем же вектором. Для любых двух таких точек отрезок между их образами параллелен исходному отрезку, а значит, образы лежат на прямой, параллельной исходной. Если вектор переноса направлен вдоль этой прямой, её точки просто перемещаются по ней, и прямая переходит сама в себя. Так сохраняется и прямолинейность, и направление отрезков, лежащих на ней.

Образ фигуры состоит из образов всех её точек, поэтому для построения многоугольника достаточно перенести его вершины. Затем нужно соединить полученные точки в том же порядке, что и исходные вершины: стороны многоугольника переходят в соответствующие стороны. Поскольку расстояния не меняются, новые стороны имеют ту же длину, а углы сохраняют величину. Такой способ удобен и для построения, и для доказательства равенства фигур.

Если вектор переноса нулевой, то его начало и конец совпадают, поэтому ни одна точка не меняет положения. При двух последовательных переносах точка сначала смещается на a, а затем на b; общий результат равен сумме этих перемещений a + b. Это следует из правила сложения векторов: итоговый вектор ведёт из исходной точки прямо к конечному положению. Поэтому несколько переносов можно заменить одним.

Что происходит с объектами при параллельном переносе

Таблица помогает быстро определить, какие свойства объекта сохраняются после переноса. Для построения образа сначала выясните, что именно дано, а затем примените общий вектор к точке или ко всем вершинам фигуры. Если требуется доказать равенство фигур, используйте сохранение расстояний и углов.

Разбор задач

Координаты образа точки

Условие. Точка A(−2; 3) переносится на вектор a = (4; −1). Найдите координаты её образа. Нужно применить одинаковое правило отдельно к горизонтальной и вертикальной координатам: координаты вектора показывают, на сколько меняется каждая из них. Если изменение отрицательное, соответствующая координата уменьшается.

1. Обозначим образ точки через A′(x′; y′). При переносе на вектор (a; b) получаем x′ = x + a и y′ = y + b.
2. Подставим данные точки и вектора: x′ = −2 + 4 = 2, y′ = 3 + (−1) = 2.
3. Запишем обе найденные координаты вместе: A′(2; 2). Проверка: из A к A′ нужно пройти на 4 единицы по горизонтали и на −1 по вертикали, как задано вектором.

Ответ: A′(2; 2).

Равенство треугольников после переноса

Условие. Треугольник ABC перенесён на вектор a. Докажите, что его образ A′B′C′ равен исходному треугольнику. Для равенства треугольников достаточно установить равенство соответствующих сторон. Каждая пара вершин переносится одним и тем же вектором, а перенос сохраняет расстояния между точками.

1. По свойству параллельного переноса расстояния между образами точек равны исходным расстояниям. Поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA.
2. Получены равенства всех трёх пар соответствующих сторон. Значит, треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам.
3. Обозначения вершин в порядке ABC и A′B′C′ показывают, какие стороны сопоставляются. Важно не сравнивать стороны в произвольном порядке, а связывать каждую вершину с её образом.

Ответ: A′B′C′ = ABC, поскольку все соответствующие стороны равны.

Поиск вектора и образа точки

Условие. Найдите вектор переноса, который переводит A(1; −3) в A′(−2; 2), и определите, куда при этом переходит B(4; 1). Сначала находим перемещение от известной точки к её образу, а затем используем его для B. Координаты вектора — это разности координат конца и начала.

1. Вычтем координаты A из координат A′: AA′ = (−2 − 1; 2 − (−3)) = (−3; 5).
2. Этот вектор задаёт общий перенос. Поэтому к координатам B прибавим его координаты: B′ = (4 + (−3); 1 + 5).
3. Выполним вычисления: B′ = (1; 6). Проверка: и A, и B сдвинуты на один и тот же вектор (−3; 5).

Ответ: вектор переноса (−3; 5), образ точки B — B′(1; 6).

Типичные ошибки

Ошибка: для разных точек откладывают разные векторы. Обычно так происходит, когда вектор строят отдельно для каждой вершины, не сверяясь с исходным заданием; длина или направление при этом может случайно измениться. Проверьте, что все отрезки от точки к её образу равны заданному вектору и направлены одинаково.

Ошибка: координаты вектора путают с координатами точки или вычитают их без основания. Вектор показывает изменение координат, поэтому при переходе от точки к образу его координаты прибавляют. Для проверки вычислите разности «координаты образа минус координаты исходной точки»: они должны совпасть с координатами вектора.

Ошибка: считают, что перенос обязательно меняет положение фигуры. Это неверно, если вектор равен нулю: тогда начало и конец вектора совпадают и каждая точка остаётся на месте. Перед построением проверьте длину вектора; если обе его координаты нулевые, образ совпадает с исходной фигурой.

Ошибка: предполагают, что длина или направление отрезка после переноса могут измениться. Это может показаться правдоподобным, если сравнивать расположение отрезков на чертеже, а не их соответствующие концы. Проверьте, что оба конца смещены одним вектором: полученный отрезок будет равен исходному и параллелен ему, а при нулевом переносе останется на месте.

Связь с другими темами

Для построений и вычислений при переносе нужны умения складывать и откладывать векторы, а также находить координаты вектора по координатам его начала и конца. Перенос входит в тему движений и помогает рассматривать симметрии как способы преобразовать фигуру, сохранив её размеры. Его свойства полезны в задачах на равенство фигур и при построении образов геометрических объектов. В координатных задачах перенос связывает геометрическое перемещение с простым сложением чисел.

Что запомнить

• При параллельном переносе все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• Образ точки A удовлетворяет равенству AA′ = a.
• Перенос сохраняет расстояния и является движением.
• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.
• Отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок.
• Последовательные переносы складываются по векторам.