5.3. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором каждая точка перемещается на один и тот же вектор. Иными словами, всю плоскость как будто сдвигают, не поворачивая и не растягивая. Это понятие нужно, чтобы точно описывать такое движение и строить новую фигуру по исходной.

Вектор переноса — фиксированный вектор, задающий направление и длину перемещения всех точек. Фиксированный означает, что его не меняют от точки к точке: нельзя одну точку сдвинуть дальше, а другую — в другую сторону. По этому вектору выполняют построение и проверяют, правильно ли оно сделано.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе; образ точки A обозначают A′. Штрих помогает отличить новую точку от первоначальной. Для переноса от A к A′ вектор AA′ должен совпадать с вектором переноса.

Образ фигуры — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Например, для треугольника это треугольник, вершины которого получены переносом исходных вершин. Такое определение позволяет строить не только отдельные точки, но и целые фигуры.

Как это устроено

Чтобы задать параллельный перенос, достаточно указать один вектор. Для любой выбранной точки A строят точку A′ так, чтобы AA′ был равен вектору переноса: совпадали их длины и направления. Поэтому из одной точки и заданного вектора всегда можно однозначно определить её образ. Если мысленно повторить построение для каждой точки плоскости, получится весь перенос.

Все точки перемещаются на одинаковое расстояние и в одном направлении, потому что для каждой из них используется один и тот же вектор. Поэтому отрезки, соединяющие точки и их образы, равны и параллельны, если сравнивать их направление. Одинаковый сдвиг не может развести концы исходного отрезка дальше друг от друга или сблизить их: оба конца проходят равные пути в одном направлении. Так объясняется, почему фигура при переносе не растягивается и не сжимается.

При переносе сохраняются расстояния и углы. Это происходит потому, что перемещение каждой точки одинаково: взаимное расположение точек фигуры не меняется, а значит, не меняются длины её сторон и величины углов между ними. Такой перенос можно представить как сдвиг листа с нарисованной фигурой по ровной поверхности: рисунок не деформируется. Следовательно, образ фигуры равен исходной фигуре.

Прямая при переносе переходит в параллельную ей прямую. Направление её не меняется, поскольку все её точки сдвигаются одним вектором; при этом точки образа лежат на прямой, параллельной исходной. Есть особый случай: если вектор направлен вдоль самой прямой, её точки просто перемещаются по ней, поэтому прямая переходит сама в себя. Это не означает, что каждая точка остаётся на прежнем месте.

Параллельный перенос сохраняет взаимное расположение точек и фигур, поэтому образ многоугольника можно построить по образам его вершин. Сначала находят новую точку для каждой вершины, используя один и тот же вектор, а затем соединяют их в прежнем порядке. Соединять именно соответствующие вершины нужно потому, что стороны исходного многоугольника соединяли соседние вершины. Полученная фигура будет той же формы и размера, но расположится в другом месте.

Что сохраняется при параллельном переносе

Таблица помогает быстро определить, какое свойство можно использовать в задаче. Сначала найди в условии нужный объект, затем прочитай, что с ним происходит при переносе. Например, если требуется сравнить длины, воспользуйся сохранением расстояний.

Разбор задач

Задача 1. Дан вектор переноса и точка A. Постройте образ A′ точки A.

1. Обозначь начало заданного вектора и его конец, чтобы не потерять направление.
2. Проведи через A луч, параллельный вектору и направленный так же. Именно направление, а не только длина, определяет, где окажется образ.
3. Отложи на этом луче отрезок длиной, равной длине вектора переноса. Его конец обозначь A′.
4. Сравни AA′ с заданным вектором: длины должны быть одинаковыми, а направления совпадать.

Ответ: точка A′, для которой вектор AA′ равен вектору переноса. Если отложить вектор в обратную сторону, получится точка другого переноса.

Задача 2. Треугольник ABC перенесли на заданный вектор. Постройте образ треугольника.

1. Сначала построй образ вершины A по правилу задачи 1 и обозначь его A′.
2. Так же построй B′ и C′. Для всех трёх вершин используй один и тот же вектор, иначе получится не параллельный перенос.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′, а C′ с A′. Порядок соединения сохраняет соответствие сторонам исходного треугольника.
4. Проверь построение: отрезки AA′, BB′ и CC′ должны быть равны и параллельны заданному вектору.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ треугольника ABC.

Задача 3. Известны координаты точки A(2; −1) и вектора переноса (3; 4). Найдите координаты A′, а затем докажите, что образ отрезка AB равен исходному отрезку.

1. Чтобы найти образ в координатах, прибавь к координатам точки соответствующие координаты вектора: первая координата даёт сдвиг по горизонтали, вторая — по вертикали.
2. Получаем A′(2 + 3; −1 + 4), то есть A′(5; 3).
3. При переносе точка B переходит в B′ тем же вектором. Так как расстояния между точками при переносе сохраняются, A′B′ = AB.
4. Значит, образ отрезка A′B′ имеет ту же длину, что и AB; он также параллелен ему. Для доказательства равенства достаточно сохранения длины, а параллельность подтверждает правильное построение образа.

Ответ: A′(5; 3), а отрезок A′B′ равен отрезку AB.

Типичные ошибки

Иногда разные точки переносят на векторы разной длины. Так допускают ошибку, когда строят образ каждой вершины по отдельности и забывают, что смещение должно быть одинаковым. Проверь векторы от каждой исходной точки к её образу: они должны совпадать. Если хотя бы один отличается по длине или направлению, это уже не один параллельный перенос.

Можно отложить вектор нужной длины, но в противоположном направлении. Так бывает, когда ориентируются только на длину и не смотрят, куда указывает стрелка. Сверь начало и конец вектора переноса, а затем направление от исходной точки к образу. При совпадении длины и противоположном направлении построена точка для другого сдвига.

При построении образа многоугольника иногда смещают только одну вершину. Тогда остальные вершины остаются на месте, и вместо перенесённого многоугольника получается другая фигура. Нужно построить образ каждой вершины, а затем соединить полученные точки в прежнем порядке. Проверка проста: у каждой вершины должен быть свой образ, смещённый на один и тот же вектор.

Ещё одна ошибка — считать, что прямая всегда переходит в другую прямую. Обычно её образ параллелен ей, но при переносе вдоль самой прямой она переходит в себя. Это происходит потому, что точки прямой перемещаются по ней, хотя отдельные точки могут менять положение. Чтобы проверить случай, сравни направление вектора переноса с направлением прямой.

Связь с другими темами

Перед изучением переноса нужно знать, что такое вектор, как определяются его длина и направление и как отложить его от заданной точки. Для координатных задач пригодится умение находить координаты точек и векторов: координаты вектора прибавляют к координатам исходной точки. Параллельный перенос относится к движениям плоскости и помогает изучать равенство фигур. Сохранение расстояний и углов также используют при доказательстве геометрических утверждений.

Что запомнить

• Параллельный перенос задаётся одним вектором.
• Образ каждой точки смещён на один и тот же вектор.
• При переносе сохраняются расстояния и углы.
• Образ прямой параллелен исходной прямой или совпадает с ней.
• Чтобы построить образ многоугольника, перенеси все его вершины.
• Если вектор переноса равен нулю, каждая точка остаётся на месте.