5.2. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование плоскости, при котором каждой точке соответствует точка, отражённая относительно заданной прямой. Преобразование можно представить как отражение в зеркале, поставленном вдоль этой прямой. Оно позволяет сопоставить каждой точке фигуры её образ и построить зеркальное расположение всей фигуры.

Прямую, относительно которой выполняется отражение, называют осью симметрии. Ось задаёт положение отражения: одна и та же фигура при отражении относительно разных прямых может получить разные образы. Поэтому в задаче ось обычно обозначают буквой или называют заданной прямой.

Точки, симметричные относительно прямой, лежат на одном перпендикуляре к ней, по разные стороны от неё. Ось пересекает соединяющий эти точки отрезок под прямым углом и делит его пополам. Оба условия нужны вместе: они точно определяют положение образа точки и позволяют проверить построение.

Точка, лежащая на оси симметрии, переходит сама в себя. Она не оказывается ни справа, ни слева от оси, поэтому её образ совпадает с ней. Это удобно учитывать при построении фигуры: точки на оси не нужно переносить.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой l, сначала проведи из A перпендикуляр к l. Пусть он пересекает ось в точке H. Затем на продолжении прямой AH по другую сторону от l отметь точку A′ так, чтобы HA′ = HA. Перпендикуляр выбирают потому, что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру; равные отрезки по разные стороны делают H серединой AA′.

Осевая симметрия сохраняет расстояния между точками, потому что отражение не растягивает и не сжимает фигуру. Например, для точек A и B и их образов A′ и B′ перпендикуляры к оси образуют пары прямоугольных треугольников. В них соответствующие катеты равны: расстояния точек от оси не меняются, а промежуток между основаниями перпендикуляров тоже остаётся прежним. Поэтому гипотенузы AB и A′B′ равны.

Углы при осевой симметрии тоже сохраняются: стороны угла переходят в соответствующие лучи, а длины и взаимное расположение этих лучей задают ту же величину угла. Значит, фигура не меняет форму и размеры. Однако отражение меняет направление обхода: если на исходной фигуре идти по вершинам по часовой стрелке, на образе соответствующий обход может оказаться направленным против часовой стрелки.

Чтобы построить образ фигуры, выбери её характерные точки — например, вершины многоугольника. Построй симметричную точку для каждой вершины, затем соедини образы в том же порядке, в каком были соединены исходные вершины. Такой порядок сохраняет соответствие сторон: если в исходной фигуре сторона соединяет A и B, в образе ей соответствует A′B′. Для плавной линии достаточно перенести ключевые точки и провести через их образы линию той же формы.

Проверить, является ли прямая осью симметрии фигуры, можно мысленным или реальным отражением. Каждая точка фигуры должна перейти в точку, которая также принадлежит этой фигуре, а сам образ должен полностью совпасть с исходной фигурой. Для многоугольника сопоставь вершины: у каждой пары разных симметричных вершин ось должна быть серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку. Вершины, лежащие на оси, остаются на месте.

Что происходит с фигурами при осевой симметрии

В таблице собраны основные результаты отражения: сначала проследи, куда переходит объект, затем проверь, какое свойство остаётся неизменным. При решении задач особенно полезно помнить, что равные расстояния от оси относятся к соответствующим точкам. Сохранение длин и углов помогает проверить, правильно ли построен образ фигуры.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Условие. Даны прямая l и точка A вне неё. Постройте точку, симметричную A относительно l. Образ обозначим A′. Нужно не просто выбрать точку по другую сторону прямой, а обеспечить перпендикулярность и равенство расстояний до оси.

1. Проведи через A перпендикуляр к прямой l и обозначь точку пересечения через H.
2. На прямой AH за осью l отметь точку A′ так, чтобы HA′ = HA. Отрезки должны лежать по разные стороны от H.
3. Проверь, что l перпендикулярна AA′ и проходит через середину этого отрезка, то есть HA = HA′.

Ответ. Точка A′, построенная по другую сторону от l на равном расстоянии от H, симметрична точке A относительно l. Если A лежала бы на самой оси, её образом была бы она же.

Построение образа треугольника

Условие. Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно прямой l. Образ обозначим A′B′C′. Поскольку треугольник задан вершинами, достаточно построить образы этих трёх точек и затем восстановить стороны.

1. Из A, B и C проведи перпендикуляры к l. Для каждого перпендикуляра отметь точку пересечения с осью.
2. На противоположной стороне от l построй A′, B′ и C′, откладывая от оси расстояния, равные расстояниям от неё до исходных вершин.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′ именно в таком порядке. Так сохраняется соответствие сторон исходного треугольника.
4. Проверь, что длины соответствующих сторон и величины соответствующих углов равны. Если какая-то вершина лежит на l, оставь её на прежнем месте.

Ответ. Искомый образ — треугольник A′B′C′. Он равен треугольнику ABC, хотя его расположение и направление обхода вершин могут отличаться.

Доказательство сохранения длины отрезка

Условие. Докажите, что осевая симметрия переводит отрезок в отрезок той же длины. Пусть A и B — концы исходного отрезка, A′ и B′ — их образы относительно оси l. Обозначим основания перпендикуляров из A и B на ось через H и K.

1. По определению отражения AH = A′H и BK = B′K, а все четыре отрезка перпендикулярны l.
2. Если рассмотреть направленные расстояния точек от оси, при отражении они меняют знак, а расстояние вдоль оси между H и K сохраняется. Поэтому в разности координат концов меняется знак только у перпендикулярных составляющих.
3. Квадрат длины AB равен сумме квадратов составляющих вдоль оси и перпендикулярно ей. При отражении знаки составляющих могут измениться, но их квадраты остаются прежними, поэтому AB² = A′B′².
4. Длины отрезков неотрицательны, следовательно, из равенства квадратов получаем AB = A′B′.

Ответ. Отрезок переходит в отрезок той же длины. Это следует из равенства расстояний точек от оси и того, что отражение меняет направление перпендикулярной составляющей, но не её величину.

Типичные ошибки

Иногда расстояние до оси откладывают по наклонному отрезку. Тогда построенная точка может оказаться на нужном расстоянии, но не на перпендикуляре, поэтому не будет симметричной исходной. Ошибку допускают, когда считают достаточным одно условие — равенство расстояний. Проверь, что обе точки лежат на одной прямой, перпендикулярной оси.

Другая ошибка — проверить, что ось проходит через середину отрезка между точками, но забыть о прямом угле. Через середину отрезка можно провести множество прямых, а симметричные точки задают именно серединный перпендикуляр. Причина ошибки — смешение двух обязательных свойств оси для пары точек. Для проверки измерь обе половины отрезка и убедись, что угол с осью прямой.

При отражении многоугольника можно соединить образы вершин не в том порядке. Например, вместо A′B′, B′C′ и C′A′ соединить A′ с C′ и получить диагональ или другую фигуру. Это происходит, если строить образ точек, не сохраняя связи между вершинами. Сверь каждую сторону исходной фигуры с соответствующей парой образов.

Некоторые считают, что отражение обязано сохранить ориентацию фигуры. Длины сторон и углы действительно не меняются, но порядок обхода вершин может стать противоположным. Путаница возникает из-за того, что равенство фигур принимают за одинаковое расположение на плоскости. Проверь соответствие вершин и сторон: образ может быть зеркальным, оставаясь равным исходной фигуре.

Связь с другими темами

Для построений по осевой симметрии нужно уметь проводить перпендикуляр к прямой, находить середину отрезка и откладывать заданное расстояние. Эти действия опираются на уже знакомые свойства прямых и отрезков. Если уверенно выполнять их, отражённые точки можно строить и проверять без догадок.

Осевая симметрия связана с равенством фигур: отражённые фигуры равны, поскольку сохраняются длины и углы. Это свойство помогает исследовать геометрические фигуры и решать задачи на их преобразования. Оси симметрии также используют, чтобы распознавать фигуры с симметрией и строить их части по отражённой половине.

Что запомнить

• Осевая симметрия задаётся прямой — осью.
• Ось симметрии перпендикулярна отрезку, соединяющему симметричные точки.
• Ось делит отрезок между симметричными точками пополам.
• Точки на оси остаются на месте.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Образ фигуры при осевой симметрии равен исходной фигуре.