3.2. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно заданной прямой. Преобразование описывает отражение всей плоскости, а не только одной фигуры. Оно помогает задавать точное соответствие между исходными точками и их образами.

Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется осевая симметрия. Её можно обозначить, например, буквой a. Ось нужна, чтобы однозначно определить направление отражения и положение каждой точки-образа.

Симметричные точки лежат на одном перпендикуляре к оси, по разные стороны от неё и на одинаковом расстоянии. Если точка расположена на оси, она переходит в себя. Это определение позволяет строить образ точки и проверять, действительно ли две точки симметричны относительно заданной прямой.

Фигура, симметричная данной, — множество образов всех точек этой фигуры при осевой симметрии. Например, образ треугольника составляют образы всех его точек, в том числе вершин и сторон. Это понятие позволяет рассматривать отражённую фигуру целиком, а не строить соответствие только для отдельных точек.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную точке A относительно оси a, сначала проводят через A перпендикуляр к a. Затем на продолжении этого перпендикуляра за осью отмечают A′ так, чтобы расстояния от A и A′ до оси были равны. Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от точки до прямой, поэтому именно по нему определяется положение образа. Если A лежит на оси, расстояние до неё равно нулю и A′ совпадает с A.

Осевая симметрия является движением, потому что сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Представим каждую точку через её положение вдоль оси и расстояние от оси по перпендикуляру. При отражении положение вдоль оси не меняется, а перпендикулярная составляющая меняет знак, но не длину. Поэтому при вычислении расстояния между двумя образами получаются те же составляющие, что и для исходных точек, и итоговое расстояние остаётся прежним.

Прямая переходит в прямую, поскольку образ каждой её точки строится одним и тем же отражением, сохраняющим расстояния. Образы двух различных точек исходной прямой задают прямую, на которой лежат и образы остальных её точек: расстояния вдоль исходной прямой сохраняются. Если взять отрезок, то его концы перейдут в соответствующие точки, а длина образа будет равна длине исходного отрезка. Значит, отражается не только пара концов, но и весь отрезок между ними.

Симметрия сохраняет углы и форму фигуры, потому что сохраняет расстояния между точками, из которых состоят стороны и углы. Лучи, образующие угол, переходят в лучи, а соотношение между ними остаётся таким же, поэтому величина угла не меняется. Однако отражение меняет ориентацию: если обходить вершины фигуры в одном порядке, то в образе порядок будет противоположным. Поэтому фигуры совпадают по размеру и очертанию, но оказываются зеркально отражёнными.

Прямая является осью симметрии фигуры, если отражение относительно неё совмещает фигуру саму с собой. При такой проверке каждой точке фигуры должен соответствовать образ, который тоже принадлежит этой фигуре. Точки оси остаются на месте, а точки вне оси попарно отражаются по разные стороны от неё. Одного совпадения некоторых частей недостаточно: после отражения должна совпасть вся фигура.

Осевая симметрия: соответствие элементов и сохраняемые свойства

Таблица помогает быстро определить, что произойдёт с конкретным элементом фигуры, и какие свойства можно использовать в доказательстве. Например, для сравнения отрезков достаточно сослаться на сохранение расстояний, а для углов — на сохранение величин. При этом равенство фигуры не означает сохранения её ориентации.

Разбор задач

Построить точку A′, симметричную точке A относительно прямой a.

Нужно расположить A′ так, чтобы ось a делила отрезок AA′ пополам под прямым углом. Поэтому сначала определяется перпендикулярное расстояние от A до оси, а затем такое же расстояние откладывается с другой стороны. Эта проверка одновременно подтверждает, что построенная точка является образом A.

1. Проведите через точку A перпендикуляр к прямой a и обозначьте точку пересечения через H.
2. Продолжите прямую AH за ось и отложите от H отрезок HA′, равный HA.
3. Проверьте, что AH перпендикулярна a, а H — середина AA′. Тогда a является серединным перпендикуляром к AA′.

Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре к a с другой стороны оси на расстоянии HA′ = HA.

Построить треугольник, симметричный данному относительно заданной прямой, и определить его стороны и углы.

Треугольник задаётся тремя вершинами, поэтому достаточно построить образ каждой из них. После этого стороны образа получаются соединением соответствующих образов вершин. Длины сторон и величины углов можно определить без измерений: движение сохраняет расстояния и углы.

1. Обозначьте вершины исходного треугольника A, B и C.
2. Постройте точки A′, B′ и C′, симметричные A, B и C относительно заданной прямой, используя перпендикуляры к ней и равные отрезки.
3. Соедините A′, B′ и C′. Стороны образа равны соответствующим сторонам исходного треугольника, а углы — соответствующим углам.

Ответ: искомый треугольник — A′B′C′; его стороны и углы соответственно равны сторонам и углам исходного треугольника.

Доказать, что прямая через две точки переходит в прямую, а исходный отрезок — в равный ему отрезок.

Пусть концами отрезка служат точки A и B, а их образы — A′ и B′. Сохранение расстояний даёт равенство AB = A′B′, но нужно также объяснить, почему образуется весь отрезок, а не только его концы. Для этого учитываем, что любая промежуточная точка отрезка находится на определённом расстоянии от его концов, а эти расстояния симметрия сохраняет.

1. Постройте образы концов A′ и B′. Поскольку преобразование сохраняет расстояния, A′B′ = AB.
2. Возьмите точку X исходного отрезка. Она лежит на прямой AB между A и B, а расстояния AX и XB при отражении сохраняются.
3. Образ X′ лежит на прямой через A′ и B′ и между ними, поскольку A′X′ + X′B′ = A′B′. Следовательно, промежуточные точки переходят в точки образа отрезка.

Ответ: прямая переходит в прямую, а образ отрезка AB — в равный ему отрезок A′B′.

Типичные ошибки

Первая ошибка — откладывать образ точки на продолжении произвольной прямой, не проверив перпендикулярность оси. Так можно получить точку на равном расстоянии от оси, но отрезок между точкой и образом не будет перпендикулярен ей. Ошибка возникает, когда равенство расстояний принимают за единственное условие симметрии. Проверьте, что ось проходит через середину отрезка между точками и перпендикулярна ему.

Вторая ошибка — считать, что точка на оси переходит в другую точку этой же прямой. При отражении точка оси остаётся в том же месте, ведь её расстояние до оси равно нулю. Ошибку часто провоцирует представление, что любая точка должна обязательно переместиться. Для проверки подставьте точку на оси в определение: её образ совпадает с ней.

Третья ошибка — путать осевую симметрию с центральной. В осевой симметрии отражают относительно прямой, а в центральной — относительно точки; у этих преобразований разные условия построения образа. Путаница появляется из-за общего слова «симметрия» и похожего свойства: исходная точка и образ связаны серединой отрезка. Проверьте, задана ли прямая-ось или точка-центр, и применяйте соответствующее построение.

Четвёртая ошибка — утверждать, что при отражении сохраняется ориентация фигуры. Длины сторон и величины углов действительно не меняются, но порядок обхода вершин становится противоположным. Ошибка возникает, если равенство фигур принимают за полное совпадение всех свойств. Сопоставьте последовательность вершин до и после отражения: зеркальный образ имеет противоположную ориентацию.

Связь с другими темами

Для построения симметричной точки нужны знакомые понятия: перпендикулярные прямые, середина отрезка и построение перпендикуляра. Они помогают сформулировать главный признак: ось перпендикулярна отрезку, соединяющему точку и её образ, и делит этот отрезок пополам. Осевая симметрия относится к движениям плоскости, поэтому её свойства используют в доказательствах равенства фигур и задачах на построение. Понятие оси пригодится и при изучении симметрии геометрических фигур.

Что запомнить

• Осевая симметрия — движение плоскости.
• Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом.
• Точки оси переходят в себя.
• При осевой симметрии сохраняются расстояния и величины углов.
• Прямая и отрезок переходят в прямую и равный ему отрезок.
• Фигура и её образ равны, но их ориентации противоположны.