§ 39. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором каждой точке соответствует точка по другую сторону от прямой и на таком же расстоянии от неё. Эту прямую называют осью симметрии преобразования. Такое определение позволяет точно описать отражение и строить образ любой точки.

Две точки называют симметричными относительно прямой, если соединяющий их отрезок перпендикулярен этой прямой, а прямая делит отрезок пополам. Иными словами, ось проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Это условие помогает проверить, действительно ли две точки являются отражениями друг друга.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура переходит сама в себя. Если представить отражение, то все части фигуры по одну сторону прямой должны совпасть с соответствующими частями по другую. Это определение помогает находить симметричные фигуры и проверять, можно ли считать выбранную прямую их осью.

Симметричные фигуры — фигуры, точки одной из которых при осевой симметрии переходят в соответствующие точки другой. Каждая точка получает свой образ, а расположение образов сохраняет устройство фигуры. Это нужно, чтобы не путать отражение с похожим, но произвольным изменением формы.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой l, сначала проводят из A перпендикуляр к l. На продолжении этого перпендикуляра по другую сторону прямой откладывают такое же расстояние, как от A до l. Полученная точка A′ — образ точки A: отрезок AA′ пересекает ось под прямым углом, а точка пересечения является его серединой. Именно поэтому расстояния от A и A′ до оси равны.

Если точка уже лежит на оси, она остаётся на месте при отражении. От точки до оси в этом случае расстояние равно нулю, и отложить такой же отрезок по другую сторону можно только в той же точке. Поэтому ось состоит из точек, которые не перемещаются при преобразовании.

Фигуру строят по её характерным точкам: например, для многоугольника достаточно найти образы всех вершин. Каждую вершину отражают отдельно, а затем соединяют полученные точки в том же порядке, что и исходные. Порядок важен: соседние вершины исходной фигуры должны перейти в соседние вершины образа, иначе получится другая фигура.

Осевая симметрия сохраняет расстояния между точками. Если отразить концы отрезка, длина отрезка между их образами останется такой же, поэтому образ отрезка равен исходному; точки прямой после отражения также лежат на одной прямой. По той же причине сохраняются величины углов: стороны угла переходят в соответствующие лучи, а их взаимное положение при отражении не меняет величину угла.

Чтобы проверить, является ли прямая осью симметрии фигуры, мысленно отрази фигуру относительно неё. Сравни получившийся образ с исходной фигурой: каждая часть должна совпасть с соответствующей частью, а точки, связанные отражением, должны быть на равных расстояниях от прямой. Если хотя бы одна точка или часть не совпадает, выбранная прямая осью не является.

Что происходит с точками и фигурами при осевой симметрии

Таблица показывает, что происходит с отдельными объектами и их свойствами при отражении. Используй её, чтобы проверить построение: например, убедиться, что длина отрезка не изменилась, а образ точки находится на нужном расстоянии от оси. Для проверки оси фигуры сравнивают не только точки, но и все части фигуры.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Условие. Точка A находится на расстоянии 2 см от прямой l. Построить точку, симметричную A относительно l. По определению образ должен находиться на другой стороне оси на таком же расстоянии. Одного измерения расстояния недостаточно: нужно также правильно выбрать направление построения.

1. Проведи через A перпендикуляр к прямой l. Он пересечёт l в точке H.
2. От точки H по перпендикуляру на другой стороне l отложи 2 см.
3. Обозначь полученную точку A′. Проверь, что H лежит между A и A′ и HA = HA′ = 2 см.

Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре к l по другую сторону прямой на расстоянии 2 см от неё. Проверка показывает, что l проходит через середину AA′ под прямым углом, поэтому точки симметричны.

Построение симметричного треугольника

Условие. Построить треугольник, симметричный данному относительно прямой, не проходящей через его вершины. Пусть исходный треугольник — ABC. Поскольку симметрия задаёт образ для каждой точки, сначала нужно найти образы всех трёх вершин, а потом восстановить связи между ними.

1. Из вершин A, B и C проведи перпендикуляры к оси и отметь точки пересечения с ней.
2. На другой стороне оси отложи на каждом перпендикуляре такое же расстояние, какое отделяет соответствующую вершину от оси. Получи A′, B′ и C′.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′ — в том же порядке, что и вершины исходного треугольника.

Ответ: треугольник A′B′C′. У каждой пары соответствующих вершин ось является серединным перпендикуляром, поэтому точки построены верно; соединение в том же порядке сохраняет соответствие сторон.

Проверка оси симметрии прямоугольника

Условие. Определить, является ли одна из предложенных прямых осью симметрии данного прямоугольника. Проверять нужно именно совпадение прямоугольника с отражённым образом, а не только то, проходит ли прямая через середину фигуры. Удобно сравнить расстояния соответствующих точек до прямой.

1. Отрази мысленно прямоугольник относительно выбранной прямой: отметь, куда должны перейти его вершины.
2. Проверь, что каждой вершине соответствует вершина прямоугольника на другой стороне оси и обе точки находятся от неё на одинаковом расстоянии.
3. Убедись, что при таком отражении совпадают стороны и вся фигура целиком. Если хотя бы одна пара вершин или сторон не совпадает, прямая не является осью.

Ответ: прямая является осью симметрии тогда и только тогда, когда отражённый относительно неё прямоугольник полностью совпадает с исходным. Равные расстояния соответствующих точек подтверждают построение, но итоговая проверка — совпадение всей фигуры.

Типичные ошибки

Иногда расстояние до оси откладывают не по перпендикуляру, а под наклоном. Тогда отрезок, соединяющий исходную точку с образом, не будет перпендикулярен оси, хотя требование к симметричным точкам именно такое. Так поступают, потому что запоминают только равенство расстояний. Проверь себя: проведи перпендикуляр и убедись, что обе точки лежат на нём.

Другая ошибка — считать, что достаточно расположить две точки на равном расстоянии друг от друга. Но ось должна не просто находиться между ними: она обязана делить соединяющий их отрезок пополам и быть к нему перпендикулярной. Ошибка возникает, если забыть условие о середине отрезка. Для проверки отметь середину и сравни две части: их длины должны быть равны, а угол с осью — прямым.

При построении образа фигуры можно соединить полученные точки в случайном порядке. Тогда отдельные вершины могут быть отражены верно, но соединения образуют другую фигуру. Это происходит, когда не следят за соответствием сторон. Подпиши образы вершин и соединяй их в том же порядке, что и в исходной фигуре.

Нельзя считать осью любую прямую, проходящую через фигуру. Прямая может делить фигуру на две части, которые не совпадают при отражении: например, их границы или расстояния до оси могут различаться. Обычно ошибку вызывает внешний вид рисунка без точной проверки. Мысленно отрази фигуру и проверь совпадение соответствующих точек и частей.

Связь с другими темами

Для построений при осевой симметрии нужны знания о перпендикулярных прямых, середине отрезка и измерении расстояний. Перпендикуляр задаёт направление от точки к оси, а середина и равные отрезки помогают правильно расположить образ. Без этих понятий нельзя проверить, что ось делит отрезок между точкой и её образом пополам.

Осевая симметрия пригодится при изучении свойств геометрических фигур и построении новых фигур. С её помощью можно сравнивать части фигуры, находить оси симметрии и строить отражённые образы. Эти навыки помогают точнее рассуждать о равенстве отрезков и углов.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ.
• Точка на оси симметрии переходит сама в себя.
• Симметричные точки находятся по разные стороны от оси на равных расстояниях.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и величины углов.
• Чтобы построить образ фигуры, достаточно построить образы её вершин и соединить их.
• Ось симметрии делит фигуру на части, которые совпадают при отражении.