§ 40. Осевая симметрия фигуры

Определения и обозначения

Осевая симметрия фигуры — преобразование, при котором каждой точке фигуры сопоставляется симметричная ей относительно прямой точка. Эту прямую называют осью отражения, а соответствующие точки — точкой и её образом. Такое преобразование позволяет построить зеркальную копию фигуры, сохранив форму и размеры.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура симметрична сама себе. Иначе говоря, после отражения относительно этой прямой фигура полностью совпадает с исходной. Это определение помогает отличить настоящую ось от прямой, которая просто проходит через середину или центр фигуры.

Симметричные относительно прямой точки лежат на перпендикуляре к ней, по разные стороны от неё и на одинаковом расстоянии. Прямая при этом проходит посередине между точками. Это условие нужно, чтобы точно находить образ точки и проверять правильность построения.

Неподвижная точка при осевой симметрии — точка, которая при отражении остаётся на месте; такие точки лежат на оси симметрии. Расстояние от точки оси до неё самой равно нулю, поэтому отражать её на другую сторону некуда. Это объясняет, почему вся ось остаётся неподвижной при отражении.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную точке A относительно прямой l, сначала проведи из A перпендикуляр к l. Обозначь точку пересечения перпендикуляра с прямой буквой H, а затем отложи на продолжении отрезок HA′, равный HA. Перпендикуляр нужен потому, что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру; наклонный отрезок такой мерой не является. Равные отрезки по обе стороны от H помещают A и A′ на одинаковом расстоянии от оси.

Точка H оказывается серединой отрезка AA′, а l перпендикулярна этому отрезку. Значит, ось является серединным перпендикуляром к отрезку, который соединяет точку с её образом. Именно поэтому при отражении точки по разные стороны от оси меняются местами, а точка пересечения с осью остаётся на месте. Это свойство одновременно объясняет и способ построения, и неподвижность точек оси.

Образ фигуры получают, отражая её точки относительно одной и той же прямой. Для отрезка AB достаточно построить образы A′ и B′ его концов, а затем соединить их: между концами отрезка находятся все его остальные точки, и отражение сохраняет прямолинейность. Если отражается многоугольник, строят образы всех вершин и соединяют их в прежнем порядке. Так сохраняются соответствующие стороны и углы фигуры.

Фигура симметрична относительно прямой только тогда, когда после отражения целиком совпадает с собой. Недостаточно, чтобы совпали отдельная точка, сторона или часть рисунка: проверке подлежит каждый участок фигуры. Отражение сохраняет расстояния и форму, но может поменять местами левую и правую стороны. Поэтому о совпадении судят по соответствующим точкам и частям, а не по тому, как фигура выглядит с одной стороны оси.

Проверить прямую можно мысленным складыванием фигуры по ней: части должны лечь друг на друга без сдвига и зазоров. Если складывание представить трудно, выбери точки на одной стороне и проверь, находятся ли их образы на перпендикулярах к оси и на равных расстояниях с другой стороны. Затем проследи, что все точки и части фигуры получили соответствующие пары. Такая проверка не позволит принять за ось прямую, которая подходит лишь некоторым частям.

Осевая симметрия и оси симметрии фигур

В таблице собраны условия, по которым можно проверить симметрию разных фигур. Сначала определи, какие точки или части фигуры должны соответствовать друг другу, затем проверь указанное условие. Для целой фигуры обязательно убедись, что отражение совпадает с ней полностью.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Условие. Постройте точку, симметричную точке A относительно прямой l, если A не лежит на l. Нужно найти положение образа так, чтобы ось находилась точно посередине между A и новой точкой. Поэтому сначала определяем направление, в котором измеряется расстояние до прямой.

1. Из точки A проведи перпендикуляр к l и обозначь точку пересечения буквой H. Перпендикуляр задаёт направление от точки к оси под прямым углом.
2. Измерь отрезок AH и продолжи прямую за точку H на другую сторону от l. На продолжении отметь точку A′ так, чтобы HA′ = AH.
3. Проверь, что A, H и A′ лежат на одной прямой, а l перпендикулярна этой прямой. Равенство отрезков показывает, что H — середина AA′.

Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре к l по другую сторону оси на расстоянии AH от неё. Если точка окажется не на перпендикуляре или расстояния до l будут разными, построение нужно исправить. Такая проверка непосредственно следует из определения симметричных точек.

Построение образа отрезка

Условие. Постройте отрезок, симметричный отрезку AB относительно прямой l. Образ должен содержать точки, соответствующие обоим концам исходного отрезка. Значит, одного построения недостаточно даже в том случае, если один конец уже лежит на оси.

1. Построй точку A′, симметричную A относительно l, проведя перпендикуляр и отложив равное расстояние на другой стороне.
2. Тем же способом построй точку B′, симметричную B. Если B лежит на l, она не перемещается и B′ совпадает с B.
3. Соедини A′ и B′ прямой и выдели отрезок A′B′. Полученная фигура и есть образ AB.

Ответ: симметричный отрезок — A′B′. Проверь, что обе конечные точки построены правильно и отрезок соединяет именно их. При отражении сохраняется длина, поэтому AB и A′B′ равны.

Ось симметрии равнобедренного треугольника

Условие. Определите, какие прямые являются осями симметрии равнобедренного треугольника, и объясните ответ. Сначала обозначим равные боковые стороны AC и BC, а основание — AB. Отражение должно переставить вершины A и B, оставив вершину C на месте.

1. Проведи прямую из вершины C к середине основания AB. В равнобедренном треугольнике эта прямая перпендикулярна основанию и делит угол при C пополам.
2. Проверь, что при отражении относительно этой прямой A переходит в B, а B — в A. Вершина C лежит на оси и остаётся неподвижной.
3. Равные боковые стороны переходят одна в другую, а основание отражается на себя. Значит, весь треугольник совпадает со своим образом.

Ответ: ось симметрии — прямая, проходящая через вершину между равными сторонами и середину основания. Для обычного равнобедренного треугольника других осей нет: отражение относительно иной прямой не совместит все три стороны и вершины. Если треугольник равносторонний, он имеет три оси симметрии, поскольку в нём равны все стороны.

Типичные ошибки

Первая ошибка — откладывать расстояние до оси вдоль наклонного отрезка. Так делают, потому что наклонное направление кажется удобным, но симметричные точки должны лежать на общем перпендикуляре к оси. Проверь себя: соедини точку и её образ, затем убедись, что ось перпендикулярна этому отрезку и делит его пополам.

Вторая ошибка — считать осью любую прямую, проходящую через центр фигуры. Прямая может проходить через центр и при этом не делить фигуру на совпадающие части. Проверь себя отражением: если хотя бы одна часть не совпала со своей парой, эта прямая не является осью.

Третья ошибка — при построении образа отрезка отражать только один его конец. Один конец не задаёт положение всего отрезка, поэтому нужно построить образы обеих конечных точек и соединить их. Для проверки проследи, чтобы оба новых конца соответствовали исходным и лежали на верных перпендикулярах к оси.

Четвёртая ошибка — проверять симметрию только части фигуры, например одной стороны или пары точек. Отдельная часть может отражаться правильно, хотя вся фигура при этом не совпадает сама с собой. Чтобы проверить себя, сопоставь все вершины, стороны и остальные части по обе стороны оси; совпасть должна фигура целиком.

Связь с другими темами

Для построений с осевой симметрией нужно знать, как проводить перпендикулярные прямые, находить середину отрезка и измерять расстояние от точки до прямой. Эти понятия помогают построить образ точки и проверить, что ось делит отрезок между ней и образом пополам. Без них нельзя точно установить положение симметричных точек.

Осевая симметрия пригодится при изучении свойств геометрических фигур, построений и преобразований плоскости. С её помощью можно объяснять равенство частей фигуры и находить взаимное соответствие вершин и сторон. Она также помогает распознавать фигуры, которые совпадают со своими отражениями.

Что запомнить

• Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура совпадает со своим отражением.
• Точки оси при отражении остаются на месте.
• Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ.
• Точка и её образ находятся по разные стороны от оси на равных расстояниях.
• Образ отрезка строят по образам его концов.
• У фигуры может быть несколько осей симметрии или ни одной.