"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Внешний угол треугольника появляется, когда одну из его сторон продолжают за вершину. Он образует прямую пару с внутренним углом при этой вершине, поэтому вместе они дают 180°. Но главное свойство связывает внешний угол с двумя углами при других вершинах: внешний угол равен их сумме и потому больше каждого из них. Это правило помогает находить неизвестные углы и доказывать, что один угол больше другого.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внешний угол треугольника образуется, когда одну из сторон продолжают за вершину. Между продолжением этой стороны и другой стороной треугольника возникает угол, соседний с внутренним углом при той же вершине. При выборе продолженной стороны рассматривают именно этот прилегающий угол, а не угол при другой вершине. Такое определение помогает не перепутать внешний угол с одним из внутренних.
Смежные углы — это два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Они составляют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°. Внешний угол и внутренний угол при той же вершине смежны: это объясняет связь между ними и позволяет находить один угол, если известен другой.
Внутренние углы, не смежные с выбранным внешним, — это два угла треугольника при двух остальных вершинах. Они не имеют общей вершины с внешним углом, поэтому не образуют с ним линейную пару. Именно эти два угла входят в свойство внешнего угла: их нужно сложить, чтобы найти внешний угол.
Обозначим треугольник ABC и продолжим сторону BC за вершину C до точки D. Угол ACD будет внешним, а угол ACB — внутренним при той же вершине. Два других внутренних угла — BAC и ABC — несмежны с выбранным внешним углом. Такое обозначение сразу показывает, какие именно углы нужно сравнивать.
Углы ACD и ACB смежные: у них общая сторона CA, а стороны CB и CD направлены в противоположные стороны. Поэтому они вместе образуют развёрнутый угол, равный 180°. Запишем: ∠ACD + ∠ACB = 180°. Это равенство связывает внешний угол с внутренним углом у вершины C.
Теперь рассмотрим все три внутренних угла треугольника ABC. Их сумма равна 180°: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°. У этого равенства та же правая часть, что и у суммы смежных углов. Общим для обеих записей является ∠ACB — угол при вершине C.
Раз обе суммы равны 180°, можно приравнять их и убрать из обеих частей одинаковый угол ∠ACB. Останется ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC. Значит, внешний угол равен сумме двух внутренних углов при других вершинах. Это и есть свойство внешнего угла треугольника.
Каждый из углов BAC и ABC меньше их общей суммы: второй угол в каждом случае положителен. А эта сумма равна внешнему углу ACD, поэтому внешний угол больше каждого из двух несмежных внутренних углов. Если, например, один из них известен, второй можно найти вычитанием: из величины внешнего угла вычитают известный угол.
| Что сравниваем | Внешний угол | Внутренние углы треугольника |
|---|---|---|
| Связь при одной вершине | Образуется продолжением стороны | Один угол при той же вершине |
| Сумма с внутренним смежным углом | Внешний угол | Внешний и смежный внутренний дают 180° |
| Связь с двумя несмежными внутренними углами | Равен их сумме | Углы при двух других вершинах |
| Сравнение с каждым несмежным внутренним углом | Больше каждого из них | Каждый меньше их суммы |
Сначала найди в строке таблицы нужную связь, а затем определи, какие именно углы обозначены в условии. Для вычислений используй сумму двух несмежных углов, а для проверки смежной пары — сумму 180°.
Задача 1. Внешний угол треугольника равен 125°, один из двух несмежных внутренних углов — 48°. Найти другой. Обозначим неизвестный угол через x. Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних, поэтому вместе они должны дать 125°.
Ответ: другой несмежный внутренний угол равен 77°. Вычитание подходит, потому что внешний угол уже известен и состоит из суммы двух внутренних.
Задача 2. Два несмежных внутренних угла равны 37° и 64°. Найти внешний угол при третьей вершине. Здесь известны оба слагаемых, из которых по свойству складывается внешний угол. Поэтому искать разность или обращаться к смежному углу не требуется.
Ответ: внешний угол равен 101°. Проверка сравнением помогает заметить возможную ошибку в сложении или неверный выбор углов.
Задача 3. Внешний угол равен 4x + 10°, а два несмежных внутренних угла — 2x + 20° и x + 15°. Найти x и величины углов. В условии даны выражения, поэтому сначала составим уравнение, а после его решения подставим x в каждое выражение. Связь между выражениями задаёт свойство внешнего угла.
Ответ: x = 25; внешний угол равен 110°, несмежные внутренние углы — 70° и 40°.
Ошибка: назвать внешним угол, который не образован продолжением стороны треугольника. Так бывает, если ориентироваться только на то, что угол расположен снаружи фигуры. Проверь: одна сторона выбранного угла должна быть продолжением стороны треугольника за вершину.
Ошибка: складывать внешний угол со всеми тремя внутренними углами. Ученик может решить, что свойство касается всех углов фигуры, но оно связывает внешний угол только с двумя несмежными внутренними. Для проверки отметь вершину внешнего угла: внутренний угол при ней смежный, а складывать нужно углы при двух других вершинах.
Ошибка: приравнять внешний угол одному несмежному внутреннему. Так можно подумать, если перепутать свойство с равенством смежных углов, однако внешний угол равен сумме двух несмежных углов, а не каждому из них по отдельности. Подставь числа: внешний угол должен оказаться больше каждого такого угла.
Ошибка: считать внешний угол смежным с углами при других вершинах. Смежность требует общей вершины и общей стороны, а у углов при других вершинах их нет. Проверь обозначения: смежная пара находится у той же вершины, где расположен внешний угол.
Чтобы понять доказательство свойства, нужно знать, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, а смежные углы тоже дают 180°. Первое равенство относится сразу к трём углам треугольника, второе — к паре углов у одной вершины. Их сравнение позволяет вывести новое правило.
Свойство внешнего угла пригодится при вычислении неизвестных углов: можно складывать два несмежных внутренних или находить один из них вычитанием. Оно также помогает доказывать неравенства в треугольнике: внешний угол больше каждого из двух несмежных внутренних. Перед решением важно правильно определить вершину внешнего угла.
Как понять, какой угол треугольника является внешним?
Продолжи одну из сторон треугольника за вершину. Угол между продолжением и другой стороной при этой вершине — внешний. Учитывай именно угол, который соседствует с внутренним углом треугольника.
Почему внешний угол равен сумме двух внутренних углов?
Внешний угол и внутренний угол при той же вершине в сумме дают 180°. Сумма трёх внутренних углов треугольника тоже равна 180°, поэтому, если убрать общий угол, останется равенство внешнего угла сумме двух других внутренних.
С каким внутренним углом внешний угол является смежным?
С внутренним углом при той же вершине. Их общая сторона — сторона треугольника, а две другие стороны продолжают друг друга, поэтому углы составляют развёрнутый угол.
Может ли внешний угол быть меньше одного из несмежных внутренних углов?
Нет. Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов. Так как оба угла треугольника положительны, их сумма больше каждого из них.
Как найти неизвестный угол, если известны внешний угол и один несмежный внутренний?
Вычти известный внутренний угол из внешнего. По свойству внешнего угла разность и будет вторым несмежным внутренним углом.
§ 38. Свойство внешнего угла треугольника
