§ 37. Сумма величин углов треугольника

Определения и обозначения

Внутренний угол треугольника — угол, образованный двумя его сторонами с общей вершиной. У каждого треугольника три внутренних угла: по одному при каждой вершине. Именно величины этих трёх углов складывают, когда говорят о сумме углов треугольника. Углы, расположенные рядом с треугольником, в эту сумму не входят.

Сумма величин углов треугольника — результат сложения величин всех трёх его внутренних углов. Например, если углы равны 50°, 60° и 70°, их сумма составляет 180°. Это понятие позволяет находить неизвестный угол, когда известны два других, и проверять, возможен ли треугольник с заданными углами. При вычислениях величины углов обычно записывают в градусах.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из внутренних углов. Например, у треугольника ABC продолжим сторону AC за вершину C и рассмотрим угол между продолжением AC и стороной BC. Он будет внешним при вершине C, а внутренний угол ACB — смежным с ним. Такое построение нужно, чтобы применять свойства внешнего угла.

Теорема о сумме углов треугольника утверждает, что сумма величин его внутренних углов равна 180°. Это верно для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного и тупоугольного. Теорема связывает три угла фигуры, даже если один из них пока неизвестен. Её используют в вычислениях и доказательствах.

Как это устроено

Возьмём треугольник ABC и проведём через вершину A прямую, параллельную стороне BC. Такая прямая нужна, чтобы перенести углы при основании к вершине A. Стороны AB и AC пересекут проведённую прямую, поэтому образуются углы, связанные с углами B и C. Параллельность позволяет установить эту связь не измерением, а по известному свойству углов.

Угол между AB и параллельной прямой равен углу B, а угол между этой прямой и AC равен углу C. Это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих AB и AC. Вместе с углом A они расположены по одну сторону от проведённой прямой и составляют развёрнутый угол. Значит, сумма углов A, B и C равна 180°.

Так получается теорема о сумме углов треугольника: для любого треугольника A + B + C = 180°. Доказательство не зависит от формы треугольника, потому что параллельную прямую можно провести через любую его вершину. Равенство накрест лежащих углов превращает углы у основания в части развёрнутого угла. А величина развёрнутого угла всегда равна 180°.

Продлим одну сторону треугольника за вершину и обозначим образовавшийся внешний угол. Он смежен с внутренним углом при этой вершине, поэтому их сумма равна 180°. С другой стороны, сумма двух внутренних углов, не смежных с внешним, тоже равна 180° минус смежный внутренний угол — это следует из теоремы о сумме углов треугольника. Следовательно, внешний угол равен сумме этих двух несмежных внутренних углов.

Если известны два внутренних угла, третий получают вычитанием их суммы из 180°. Так же проверяют, могут ли три заданные величины быть углами треугольника: все они должны быть положительными, а их сумма — 180°. Из этого следует, что в треугольнике не бывает двух прямых или двух тупых углов. В обоих случаях сумма двух углов уже достигла бы или превысила 180°, хотя третий угол тоже должен быть больше нуля.

Связи между углами треугольника

Сначала определи, какие углы даны: внутренние или внешний. Затем выбери строку таблицы с подходящей ситуацией и запиши равенство. После вычисления проверь, что ответ согласуется с суммой 180°.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдём третий угол. Так как сумма всех трёх внутренних углов составляет 180°, неизвестный угол равен разности между 180° и суммой известных углов.

1. Сложим известные величины: 48° + 67° = 115°.
2. Вычтем полученную сумму из 180°: 180° − 115° = 65°.
3. Проверим: 48° + 67° + 65° = 180°.

Ответ: третий угол равен 65°. Здесь важно вычитать сумму двух известных углов, а не каждый из них по отдельности из другой величины. Проверка сложением показывает, что результат подходит.

Задача 2. Внешний угол треугольника равен 125°, один из несмежных с ним внутренних углов — 52°. Найдём второй несмежный угол. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые с ним не образуют линейную пару. Значит, неизвестный угол — это разность внешнего угла и известного несмежного угла.

1. Обозначим второй несмежный угол через x.
2. Запишем свойство внешнего угла: 125° = 52° + x.
3. Вычтем 52° из 125°: x = 73°.
4. Проверим сумму: 52° + 73° = 125°.

Ответ: второй несмежный угол равен 73°. Нельзя вычитать из внешнего угла смежный с ним внутренний вместо данного угла: в условии указан именно несмежный угол. Проверка по свойству внешнего угла подтверждает результат.

Задача 3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдём их величины и определим вид треугольника по углам. Отношение означает, что углы состоят из двух, трёх и четырёх одинаковых частей. Сумма этих частей соответствует 180°.

1. Обозначим одну часть через x, тогда углы равны 2x, 3x и 4x.
2. Составим уравнение по теореме: 2x + 3x + 4x = 180°.
3. Получим 9x = 180°, значит, x = 20°.
4. Вычислим углы: 40°, 60° и 80°. Все они меньше 90°.

Ответ: углы равны 40°, 60° и 80°, треугольник остроугольный. Чтобы определить его вид, сравниваем каждый угол с 90°. Проверка суммы: 40° + 60° + 80° = 180°.

Типичные ошибки

• Складывать только два угла и считать, что их сумма равна 180°. Так поступают, забывая, что теорема относится ко всем трём внутренним углам. Чтобы проверить себя, назови все углы треугольника и убедись, что неизвестный тоже учтён.
• Путать внешний угол с несмежным внутренним. Внешний угол образуется при продолжении стороны и смежен с внутренним углом при той же вершине; они вместе дают 180°. Проверь построение: у этих двух углов должна быть общая сторона, а две другие стороны — продолжать одна другую.
• Приравнивать внешний угол одному несмежному внутреннему. Это неверно, потому что внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов. Подставь найденные величины в равенство и проверь, что складываются именно оба таких угла.
• Допускать в треугольнике два прямых или два тупых угла. Их сумма уже равна или больше 180°, поэтому третий угол не сможет быть положительным. Сверь предположение с теоремой: сумма всех трёх внутренних углов должна составлять ровно 180°.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое треугольник, внутренний угол, смежные углы и развёрнутый угол. Если знакомо правило о сумме смежных углов, можно понять связь внутреннего и внешнего углов. Эти понятия помогают правильно определить, какие величины складывать.

В доказательстве используется свойство накрест лежащих углов: при параллельных прямых они равны. Поэтому важно узнавать параллельные прямые и секущую, которая пересекает их. Именно это свойство помогает перенести углы треугольника к одной вершине.

Теорема пригодится при решении задач на равнобедренные и прямоугольные треугольники. В дальнейшем сумму углов используют и при изучении многоугольников. Умение находить неизвестный угол также помогает проверять геометрические построения.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Чтобы найти третий угол, из 180° вычитают сумму двух известных углов.
• Смежные внутренний и внешний углы в сумме дают 180°.
• Внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов.
• В треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.
• Сумма углов помогает проверять, могут ли заданные величины принадлежать одному треугольнику.