§ 36. Биссектрисы, медианы и высоты треугольника, их построение

Определения и обозначения

Биссектриса угла треугольника — луч, выходящий из вершины и делящий угол на два равных угла. Отрезок биссектрисы — часть этого луча внутри треугольника до противоположной стороны. Например, если луч из вершины A делит угол A пополам, отрезок до стороны BC называют биссектрисой треугольника. Это определение помогает узнать биссектрису по равенству углов, а не по тому, куда она пришла.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Если точка M — середина стороны BC, то AM является медианой. Середина делит сторону на два равных отрезка: BM = MC. По этому признаку можно построить медиану и проверить, действительно ли её конец расположен в нужном месте.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону; высотой также называют отрезок от вершины до этой прямой. Перпендикуляр образует с прямой угол, то есть угол 90°. В отличие от медианы, высота не обязана попадать в середину стороны. Определение через прямую позволяет проводить высоту и тогда, когда сама сторона коротка или её нужно продолжить.

Точка пересечения медиан — общая точка, через которую проходят все три медианы треугольника. Иными словами, если провести медиану из каждой вершины, они встретятся в одном месте. Это свойство помогает понять, что медианы связаны между собой, а не являются тремя отдельными отрезками без общей особенности. В задачах такую точку можно обозначать, например, буквой G.

Как это устроено

Чтобы построить биссектрису угла треугольника циркулем и линейкой, сначала нужно получить две точки на его сторонах, одинаково удалённые от вершины. Поставь иглу циркуля в вершину и проведи дугу, пересекающую обе стороны; её пересечения обозначь P и Q. Затем проведи из P и Q дуги одинакового радиуса, чтобы они пересеклись внутри угла, и соедини вершину с точкой пересечения дуг. Такая точка равноудалена от сторон угла, поэтому луч через неё делит угол на равные части.

Для медианы сначала находят середину противоположной стороны. Чтобы построить её циркулем, возьми радиус больше половины стороны и проведи дуги из двух её концов; дуги должны пересечься по обе стороны от отрезка. Прямая через точки пересечения дуг делит сторону пополам, потому что обе точки равноудалены от её концов. Отметь пересечение этой прямой со стороной и соедини его с противоположной вершиной — получится медиана.

Высоту строят как перпендикуляр из вершины к прямой противоположной стороны. Для этого можно воспользоваться угольником: приложить один его край к прямой стороны и провести через вершину линию вдоль другого края. Если угол треугольника тупой, некоторые высоты не попадут на сами стороны: продолжи нужную прямую за вершину и опусти перпендикуляр на её продолжение. Это нужно потому, что определение высоты относится к прямой, а не только к отрезку стороны.

Три отрезка различают по тому, какое условие они выполняют. Биссектриса делит пополам угол, медиана — противоположную сторону, а высота образует прямой угол с прямой, на которой лежит эта сторона. Поэтому проверка «пришла ли линия в середину?» не подходит для высоты, а проверка прямого угла не определяет медиану. В отдельных треугольниках один отрезок может выполнять сразу два условия, но это не делает определения одинаковыми.

Из каждой вершины треугольника можно провести биссектрису, медиану и высоту. В итоге у треугольника три биссектрисы, три медианы и три высоты. Для построения каждого вида нужен свой шаг: разделить угол, найти середину стороны или провести перпендикуляр. Если начать с нужного определения, легче выбрать правильный способ и не перепутать линии.

Биссектриса, медиана и высота треугольника

Пользуйся таблицей как проверкой: сначала выясни, какое условие требуется в задаче, и только затем выбирай построение. Например, равное деление стороны указывает на медиану, а прямой угол — на высоту. Если прямая стороны не доходит до основания перпендикуляра, продолжи её.

Разбор задач

Задача 1. Построить циркулем и линейкой биссектрису угла A треугольника ABC. Требуется разделить именно угол при вершине A, поэтому сначала отметим одинаково удалённые от A точки на его сторонах. После построения можно проверить результат, сравнив получившиеся углы.

1. Поставь иглу циркуля в точку A и проведи дугу, пересекающую стороны AB и AC в точках P и Q.
2. Не меняя радиуса, проведи дуги из P и Q; они пересекутся внутри угла в точке R.
3. Проведи луч AR и обозначь его пересечение со стороной BC буквой D. Луч делит угол A на две равные части.

Ответ. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. При построении важно, чтобы дуги из P и Q были одного радиуса, иначе точка R не будет одинаково удалена от сторон угла. Проверка: углы BAD и DAC должны быть равны.

Задача 2. Построить медиану треугольника ABC, проведённую из вершины A. Медиана должна попасть в середину стороны BC, поэтому соединять A с произвольно выбранной точкой нельзя. Сначала построим середину стороны циркулем и линейкой.

1. Возьми радиус циркуля больше половины BC и проведи дуги из B и C, чтобы они пересеклись по обе стороны от BC в точках X и Y.
2. Проведи прямую XY; она пересечёт BC в точке M. Точка M равноудалена от B и C, значит, BM = MC.
3. Соедини вершину A с точкой M. Отрезок AM является искомой медианой.

Ответ. Медиана из A — отрезок AM. Проверить построение можно измерением: части BM и MC должны быть равны. Перпендикулярность AM к BC не требуется, поэтому не нужно специально добиваться прямого угла.

Задача 3. Построить все высоты тупоугольного треугольника ABC и определить, какие из них проходят вне треугольника. В тупоугольном треугольнике одна вершина образует угол больше 90°, а две другие — острые. Поэтому прямые двух сторон нужно продолжить, если перпендикуляр из вершины не попадает на отрезок стороны.

1. Из каждой вершины проведи перпендикуляр к прямой противоположной стороны, пользуясь угольником.
2. Если основание перпендикуляра не лежит на стороне, продли прямую этой стороны за её конец и проведи высоту к продолжению.
3. Отметь полученные перпендикулярные отрезки; их принадлежность к высотам определяется прямым углом с соответствующей прямой стороны.

Ответ. В тупоугольном треугольнике две высоты проходят вне треугольника, на продолжениях сторон. Оставшаяся высота лежит внутри. При проверке учитывай прямую, содержащую сторону, а не только нарисованный отрезок.

Типичные ошибки

Иногда биссектрисой называют отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Так путают деление угла с делением стороны и подменяют биссектрису медианой. Проверь два угла при вершине: для биссектрисы они должны быть равны. Если доказано только равенство частей стороны, этого недостаточно.

Медиану нередко считают перпендикуляром к противоположной стороне. Ошибка возникает, когда запоминают вид одного частного чертежа и принимают его за обязательное свойство. Проверь, делит ли конец отрезка сторону пополам: это главное условие медианы. Прямой угол может быть, но медиана не обязана его образовывать.

Высоту иногда пытаются провести только к самому отрезку стороны и останавливаются, если перпендикуляр попадает за его пределы. В тупоугольном треугольнике основание высоты может лежать на продолжении стороны, поскольку перпендикуляр проводят к прямой. Продли сторону линейкой и продолжи построение. Проверь, что линия высоты образует 90° именно с прямой этой стороны.

Ещё одна ошибка при построении медианы — отметить середину на глаз. На чертеже точка может казаться центральной, но части стороны окажутся разной длины, поэтому условие медианы не выполнится. Построй середину циркулем и линейкой, а не оценивай расстояние визуально. Самопроверка проста: измерь обе части стороны и убедись, что они равны.

Связь с другими темами

Для построений нужны знакомые понятия: угол, биссектриса угла, перпендикулярные прямые, отрезок и середина отрезка. Также пригодятся базовые действия циркулем и линейкой: проводить дуги, прямые и отмечать точки пересечения. Если уверенно выполнять эти шаги, построение элементов треугольника становится последовательным и проверяемым.

Биссектрисы, медианы и высоты встречаются в задачах на элементы треугольника и помогают разбирать его устройство. Умение строить их понадобится и дальше, когда будут изучаться свойства медиан и высот. Поэтому полезно не только запомнить названия, но и различать условия, которым должен удовлетворять каждый отрезок.

Что запомнить

• Биссектриса делит угол треугольника на два равных угла.
• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Высота проводится из вершины перпендикулярно прямой противоположной стороны.
• У треугольника три биссектрисы, три медианы и три высоты.
• Высота тупоугольного треугольника может проходить вне треугольника.
• Биссектриса, медиана и высота — разные отрезки, хотя в отдельных треугольниках могут совпадать.