§ 35. Треугольник

Определения и обозначения

Треугольник — замкнутая фигура из трёх отрезков, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой. Каждая точка становится вершиной, а проведённые между ними отрезки образуют границу фигуры. Это определение помогает отличить треугольник от незамкнутой ломаной или от трёх точек на одной прямой.

Вершины треугольника обозначают прописными латинскими буквами, например A, B и C. Стороны — это отрезки, соединяющие пары вершин: AB, BC и CA; длины сторон часто обозначают строчными буквами a, b и c соответственно. Название стороны по её концам сразу показывает, между какими вершинами она проходит.

Углы треугольника расположены при его трёх вершинах. Угол можно обозначить одной буквой вершины, например ∠B, или тремя буквами, например ∠ABC, где средняя буква указывает на вершину угла. Такое обозначение позволяет понять, какой именно угол имеется в виду, особенно если на чертеже несколько углов рядом.

Периметр треугольника — сумма длин всех его трёх сторон. Если длины сторон равны a, b и c, то периметр P = a + b + c. Периметр показывает общую длину границы фигуры и помогает находить неизвестную сторону, когда известны две другие и периметр.

Как это устроено

Три точки задают треугольник однозначно, если они не лежат на одной прямой. Между каждой парой точек можно провести единственный отрезок, поэтому получаются ровно три стороны. Они соединяют точки попарно и возвращают линию к началу, образуя замкнутую фигуру; если все точки лежат на одной прямой, такой границы с углами не получится.

Чтобы расшифровать обозначения, сначала найди вершины, которые стоят в названии фигуры. В треугольнике ABC сторона AB соединяет A и B, сторона BC — B и C, а сторона CA — C и A. Угол при B образован сторонами BA и BC, поэтому это ∠B или ∠ABC; при записи тремя буквами вершина угла всегда стоит в середине.

По сторонам треугольники делят на три вида, сравнивая длины всех пар сторон. Если ни одна пара не равна, треугольник разносторонний; если равны две стороны — равнобедренный; если равны все три — равносторонний. Равенство нужно именно проверять по длинам: внешний вид рисунка может быть неточным, а равными сторонами могут оказаться любые две.

Классификация по углам основана на сравнении каждого угла с прямым углом. Если все три угла меньше прямого, треугольник остроугольный; если один угол равен прямому — прямоугольный; если один больше прямого — тупоугольный. В треугольнике не может быть двух прямых или тупых углов, потому что сумма его углов равна 180°.

Периметр находят сложением длин трёх сторон: P = a + b + c. Если известны P и две стороны a и b, то третья сторона c = P − a − b, потому что сумма трёх длин должна дать периметр. После вычисления полезно сложить найденную длину с двумя известными и проверить, получается ли исходный периметр.

Виды треугольников

Сначала определи, по чему нужно классифицировать треугольник: по сторонам или по углам. Затем сравни длины сторон либо величины углов с условиями в таблице. Один и тот же треугольник можно описать сразу по обоим основаниям, например как равнобедренный и остроугольный.

Разбор задач

Задача 1. Треугольник обозначен ABC. Назовите его вершины, стороны и углы. Разбирая запись, не нужно угадывать расположение букв на рисунке: порядок названия сообщает, какие именно точки и отрезки относятся к фигуре.

1. Вершинами являются точки, перечисленные в названии треугольника: A, B и C.
2. Стороны соединяют каждую пару вершин, поэтому это AB, BC и CA.
3. Углы расположены при вершинах A, B и C; их можно записать как ∠A, ∠B и ∠C.

Ответ: вершины A, B, C; стороны AB, BC, CA; углы ∠A, ∠B, ∠C. Например, ∠B образован сторонами BA и BC, а при записи тремя буквами обозначается ∠ABC.

Задача 2. Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см. Определите его вид по сторонам и найдите периметр. Сначала сравним длины, чтобы определить вид, затем сложим все стороны для периметра.

1. Сравниваем стороны: две длины равны 5 см, а третья равна 8 см.
2. Так как две стороны равны, треугольник равнобедренный.
3. Складываем длины: P = 5 + 5 + 8 = 18 см.

Ответ: треугольник равнобедренный, его периметр равен 18 см. Проверка проста: сумма всех трёх сторон действительно составляет 18 см.

Задача 3. Периметр треугольника равен 24 см, две его стороны — 7 см и 9 см. Найдите третью сторону и определите, может ли треугольник быть равнобедренным. Для этого сначала восстановим недостающую длину, а затем сравним её с уже известными сторонами.

1. Обозначим неизвестную сторону через x. По формуле периметра 24 = 7 + 9 + x.
2. Вычитаем известные длины: x = 24 − 7 − 9 = 8 см.
3. Сравниваем длины 7 см, 9 см и 8 см: все они разные, значит, равных сторон нет.

Ответ: третья сторона равна 8 см, и такой треугольник не может быть равнобедренным. Проверка периметра: 7 + 9 + 8 = 24 см; ни одна пара сторон не равна.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любая тройка точек задаёт треугольник. Так думают, потому что видят три точки и мысленно соединяют их, не проверяя, где они расположены. Проверь, не лежат ли все точки на одной прямой: в этом случае замкнутой фигуры с тремя вершинами не получится.

Ошибка: путать обозначение стороны и угла. Сторону называют по двум концам, например AB, а угол — по вершине, например ∠B; при записи тремя буквами вершина угла стоит посередине. Если сомневаешься, проверь: сторона — отрезок между двумя точками, угол — фигура, образованная двумя лучами из одной вершины.

Ошибка: считать равнобедренным только треугольник с равными боковыми сторонами. Такое представление появляется из-за привычного рисунка, где основание нарисовано снизу, но расположение фигуры не меняет её свойств. Сравни длины всех сторон: равными могут быть любые две, независимо от того, как треугольник нарисован.

Ошибка: определять вид треугольника по самому большому углу, не проверяя, прямой он или тупой. Самый большой угол может быть острым, поэтому одного сравнения с другими углами недостаточно. Сравни его с прямым: прямой угол означает прямоугольный треугольник, а угол больше прямого — тупоугольный.

Связь с другими темами

Для изучения треугольника нужно уметь распознавать отрезок, угол и прямую, сравнивать длины и величины углов. Эти знания позволяют правильно прочитать чертёж, обозначить его части и определить вид фигуры. Позже треугольники будут нужны при изучении равенства фигур, построений, измерения расстояний и доказательства геометрических теорем. Умение работать с ними помогает обосновывать решения, а не полагаться только на внешний вид рисунка.

Что запомнить

• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Треугольник задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
• Равносторонний треугольник имеет три равные стороны.
• Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
• Периметр равен сумме длин всех сторон.