2.1 Треугольник

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник, составленный из трёх отрезков, которые ограничивают часть плоскости. Отрезки образуют замкнутую границу, поэтому у фигуры есть внутренняя область. Треугольник задаёт простую форму, которую можно описать через длины сторон и величины углов.

Вершины треугольника — точки, в которых соединяются его стороны. Их обозначают заглавными латинскими буквами: например, A, B и C. Буквы помогают различать точки и точно указывать, о какой части фигуры идёт речь.

Стороны треугольника — отрезки, соединяющие его вершины. Сторону называют по двум концам: AB соединяет вершины A и B, BC — вершины B и C, а CA — вершины C и A. Такой способ обозначения показывает, какие именно точки образуют отрезок.

Углы треугольника — углы при его вершинах. Угол при вершине A можно обозначить ∠A или ∠BAC: в последней записи A стоит посередине, потому что это вершина угла. Его образуют прилегающие стороны AB и AC, то есть угол связан именно с ними.

Как это устроено

Чтобы задать треугольник, сначала выбирают три точки, не лежащие на одной прямой. Если все точки окажутся на одной прямой, при соединении не получится замкнутой фигуры с внутренней областью. Затем каждую пару точек соединяют отрезком: три отрезка образуют три стороны и три вершины.

В записи △ABC каждая буква обозначает вершину. Соединив их попарно, получаем стороны AB, BC и CA, а углы при вершинах называем ∠A, ∠B и ∠C. Например, ∠B образован сторонами BA и BC, поэтому буква B связывает угол с двумя его сторонами. Буквы в названии можно перечислять по кругу в любом направлении, если понятно, что речь идёт о тех же вершинах.

По сторонам треугольник называют разносторонним, если длины всех его сторон различны. Если равны две стороны, треугольник равнобедренный; равными могут оказаться любые две стороны. Когда равны все три стороны, треугольник равносторонний. Такое деление помогает описать фигуру по сравнению длин, а не по её внешнему виду.

По углам треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. В остроугольном все углы меньше 90°, в прямоугольном один угол равен 90°, а в тупоугольном один угол больше 90°. Два прямых угла или два тупых в одном треугольнике невозможны: их сумма уже составила бы не меньше 180°, не оставив места для третьего угла.

Периметр показывает общую длину границы треугольника. Чтобы его найти, измеряют или узнают длину каждой стороны и складывают три значения: P = a + b + c. Стороны должны быть выражены в одинаковых единицах, иначе сначала их нужно перевести, например, все в сантиметры.

Виды треугольников

Сначала выбери признак, по которому нужно классифицировать фигуру: сравни стороны или рассмотри углы. Один и тот же треугольник получает название по каждому признаку отдельно. Например, он может быть равнобедренным по сторонам и прямоугольным по углам.

Разбор задач

В треугольнике ABC назовите вершины, стороны и углы.

Даны название треугольника и три буквы. Каждая буква соответствует одной точке, а стороны возникают при соединении пар этих точек. Углы нужно назвать при тех же вершинах.

1. Выписываем буквы A, B и C: это вершины треугольника. Каждая обозначает точку, а не отрезок. Поэтому вершины — A, B и C.
2. Соединяем вершины попарно и называем полученные отрезки. Получаем стороны AB, BC и CA. Порядок концов стороны можно поменять: AB и BA обозначают один отрезок.
3. Называем углы при каждой вершине. Это ∠A, ∠B и ∠C; например, ∠A образован сторонами AB и AC. Если нужно указать три буквы, этот угол записывают как ∠BAC.

В ответе вершины — A, B, C, стороны — AB, BC, CA, а углы — ∠A, ∠B, ∠C. При записи угла из трёх букв его вершину ставят посередине. Так обозначения показывают, какая часть фигуры имеется в виду.

У треугольника стороны 5 см, 5 см и 8 см. Определите его вид по сторонам и найдите периметр.

Нужно выполнить две независимые проверки: сравнить длины, а затем вычислить сумму. Две стороны имеют одинаковую длину 5 см, третья равна 8 см. Значит, можно определить вид по сторонам и найти периметр сложением.

1. Сравниваем все три длины: 5 см = 5 см, а 8 см отличается от них. Следовательно, равны две стороны. По определению такой треугольник равнобедренный.
2. Обозначаем периметр буквой P и складываем длины всех сторон. Получаем P = 5 + 5 + 8 = 18 см. Единица измерения сохраняется, потому что все длины даны в сантиметрах.

Ответ: треугольник равнобедренный, его периметр равен 18 см. При определении вида достаточно проверить равенство длин, а для периметра нельзя пропустить ни одну сторону. Эти действия отвечают на разные вопросы задачи.

У треугольника один угол равен 90°, а две стороны имеют длины 6 см и 8 см. Определите вид по углам и найдите периметр, если третья сторона равна 10 см.

В условии прямо указан угол величиной 90°, значит, по углам можно определить вид фигуры. Длины всех трёх сторон известны: 6 см, 8 см и 10 см. Для периметра остаётся сложить эти значения.

1. Сопоставляем заданный угол с определением прямого угла. Угол в 90° является прямым. Поэтому треугольник прямоугольный.
2. Используем формулу периметра P = a + b + c. Подставляем длины сторон: P = 6 + 8 + 10 = 24 см. Все слагаемые измерены в сантиметрах, поэтому результат тоже выражен в сантиметрах.

Ответ: треугольник прямоугольный, периметр равен 24 см. Для классификации здесь понадобился угол, а для вычисления периметра — длины сторон. Не следует смешивать эти два признака.

Типичные ошибки

Иногда вершину называют стороной или наоборот. Так происходит, когда забывают, что вершина — точка, а сторона — соединяющий точки отрезок. Проверь себя: обозначение одной буквой указывает на вершину, а двумя — на сторону.

Название треугольника нельзя сводить к одной вершине: нужны три буквы, например ABC. Также неверно переставлять буквы, не понимая, что они обозначают: в названии фигуры они относятся к её вершинам. Проверь, что назвал все три точки и можешь указать каждую сторону между ними.

Равнобедренным иногда считают только треугольник, у которого равны две боковые стороны. Но решает не положение сторон на рисунке, а равенство длин любых двух сторон. Сравни значения или отметки равных отрезков, а не ориентируйся на то, как фигура повёрнута.

Не определяй вид треугольника по углам, рассматривая только два угла: нужно проверить все три. Два прямых угла уже дают 180°, а два тупых — больше 180°, поэтому ни один такой набор не оставит места третьему углу. Проверь, что прямой или тупой угол только один, а остальные не нарушают это ограничение.

Связь с другими темами

Для работы с треугольником нужно уметь распознавать отрезок, луч и угол, а также обозначать геометрические фигуры буквами. Эти знания помогают правильно читать названия вершин, сторон и углов. Понятия пригодятся при изучении равенства треугольников и их построении. Классификация и вычисление периметра используются в геометрических и практических задачах, например при нахождении длины границы участка.

Что запомнить

• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Треугольник обозначают тремя заглавными латинскими буквами.
• У равнобедренного треугольника две стороны равны.
• У равностороннего треугольника равны все три стороны.
• У прямоугольного треугольника один угол прямой.
• У тупоугольного треугольника один угол тупой.
• Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.