2.2 Равнобедренный треугольник и его свойства

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Третья сторона может быть другой длины. Определение помогает сразу увидеть, какие стороны связаны равенством и какие свойства можно применить.

Боковые стороны — две равные стороны равнобедренного треугольника. Они сходятся в одной вершине, которую удобно находить, когда нужно определить угол при вершине. Обозначая равные стороны, например, AB и AC, мы сразу понимаем, что основание — BC.

Основание — третья сторона равнобедренного треугольника, которая не является боковой. Оно может быть короче, длиннее или равным боковым сторонам, если треугольник равносторонний. Название основания нужно, чтобы точно указывать, к какой стороне проведены медиана, высота или биссектриса.

Угол при основании — каждый из двух углов, прилежащих к основанию. У них одна сторона лежит на основании, а другая является боковой стороной. Это название позволяет отличать эти углы от угла при вершине, образованного боковыми сторонами.

Как это устроено

Равные боковые стороны задают симметрию треугольника относительно прямой, проведённой из вершины между ними к середине основания. По одну и другую сторону от этой прямой получаются одинаковые части фигуры. Поэтому линия симметрии делит угол при вершине и основание на равные части. Именно такую особую линию мы будем изучать дальше.

Чтобы доказать равенство углов при основании, проведём из вершины биссектрису. Биссектриса — луч, который делит угол на два равных угла. Она образует два треугольника: у них равны боковые стороны исходной фигуры, есть общая сторона-биссектриса, а углы между этими сторонами равны. По первому признаку равенства треугольников эти части равны, следовательно, равны и углы при основании.

Из равенства получившихся треугольников следует, что части основания тоже равны. Значит, биссектриса проходит через середину основания. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой, поэтому биссектриса является медианой. Это объясняет, почему середина основания находится на оси симметрии равнобедренного треугольника.

Та же биссектриса перпендикулярна основанию и потому является высотой. При пересечении основания она образует два смежных угла — вместе они составляют 180°. Из равенства треугольников эти углы равны, а два равных угла с суммой 180° составляют по 90°. Значит, биссектриса образует с основанием прямой угол.

Равенство сторон помогает рассуждать и в обратном направлении. Если две стороны треугольника равны, то лежащие напротив них углы равны: это следует из свойства равнобедренного треугольника, если считать одну из равных сторон основанием в подходящем рассуждении. Например, при AB = AC против AB лежит угол C, а против AC — угол B, поэтому ∠B = ∠C. Обратное утверждение тоже полезно: если два угла треугольника равны, то равны и противоположные им стороны.

Признаки и свойства равнобедренного треугольника

Сначала установи, где боковые стороны и основание, а затем выбери подходящее утверждение. Последний столбец подсказывает, какую информацию свойство даст в задаче. Все совпадения медианы, высоты и биссектрисы относятся к линии, проведённой из вершины к основанию.

Разбор задач

В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, а угол B равен 52°. Требуется найти угол C. Равные стороны AB и AC сходятся в вершине A, поэтому противоположная им сторона BC является основанием. Углы B и C прилежат к основанию, значит, к ним применимо свойство равенства углов при основании.

1. Определяем, что AB и AC — боковые стороны, а BC — основание.
2. Углы B и C лежат при основании, следовательно, ∠B = ∠C.
3. Подставляем известное значение: ∠C = 52°.

Ответ: 52°.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Нужно найти углы при основании. Сначала обозначим каждый из равных углов при основании одной буквой, например x. Сумма всех трёх углов треугольника равна 180°, поэтому можно составить уравнение и найти x.

1. Пусть каждый угол при основании равен x.
2. Записываем сумму углов: x + x + 40° = 180°.
3. Получаем 2x = 140°, откуда x = 70°.
4. Проверяем: 70° + 70° + 40° = 180°.

Ответ: по 70°.

В равнобедренном треугольнике ABC основание — BC, а AD — биссектриса угла A. Требуется доказать, что AD одновременно медиана и высота. Сравним треугольники ABD и ACD: равенство их элементов покажет, как отрезок AD связан с основанием. Так как AB = AC, а AD — общая сторона, остаётся учесть равенство углов, которое даёт определение биссектрисы.

1. AB = AC по условию, AD = AD как общая сторона, ∠BAD = ∠DAC, поскольку AD — биссектриса.
2. Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников следует BD = DC, поэтому D — середина BC, а AD — медиана.
4. Также ∠ADB = ∠ADC. Эти углы смежные, значит, их сумма 180°, и каждый равен 90°. Следовательно, AD перпендикулярна BC и является высотой.

Ответ: AD — и медиана, и высота к основанию BC.

Типичные ошибки

Ошибка: основанием называют любую выбранную сторону треугольника. Так происходит потому, что в обычном треугольнике можно условно выбрать любую сторону для построения, но в равнобедренном название имеет конкретный смысл. Проверь, какие две стороны равны: основание — третья, не боковая сторона. Если все три стороны равны, любой выбор двух боковых сторон даст оставшуюся сторону в качестве основания.

Ошибка: путают угол при вершине с углами при основании. Угол при вершине образован боковыми сторонами, а углы при основании прилегают к основанию. Чтобы не ошибиться, сначала найди, где сходятся равные стороны, и только потом назови углы. При AB = AC угол при вершине — A, а углы при основании — B и C.

Ошибка: считают, что медиана, высота и биссектриса совпадают в любом месте равнобедренного треугольника. Свойство верно только для линии, проведённой из вершины между равными сторонами к основанию. Проверь начало и конец отрезка: если он выходит из другой вершины, это совпадение применять нельзя. Определения медианы, высоты и биссектрисы при этом остаются разными.

Ошибка: из равенства углов при основании делают вывод, что равны любые две стороны. Углам соответствуют только противоположные стороны: равным углам противолежат равные стороны. Проверь, какие именно стороны находятся напротив сравниваемых углов. Например, если ∠B = ∠C, то равны AC и AB, а не BC с одной из них.

Связь с другими темами

Для работы с равнобедренным треугольником нужно помнить, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Также понадобятся определения медианы, биссектрисы и высоты: каждое из этих понятий описывает особый отрезок или луч. Если забыть определения, можно перепутать, какое свойство нужно применить.

Доказательство основных свойств опирается на равенство треугольников и признаки их равенства. Именно сравнение двух частей равнобедренного треугольника позволяет установить равенство углов и отрезков. В дальнейшем эти выводы помогают доказывать равенство других треугольников и решать задачи на углы и отрезки.

Что запомнить

• В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.
• Основание — сторона, отличная от боковых.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Биссектриса угла при вершине делит основание пополам.
• Эта же биссектриса перпендикулярна основанию.
• Из вершины к основанию биссектриса, медиана и высота совпадают.
• Против равных сторон треугольника лежат равные углы.