"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Равнобедренный треугольник — фигура с двумя равными сторонами. Эти стороны называют боковыми, а третью — основанием; углы у основания равны. Биссектриса угла между боковыми сторонами делит основание пополам и перпендикулярна ему. Свойства помогают находить углы и стороны, доказывать равенство отрезков и решать геометрические задачи. Для вычислений также понадобится правило: сумма углов любого треугольника равна 180°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Например, если в треугольнике ABC равны AB и AC, то ABC равнобедренный. Это определение помогает распознать фигуру и сразу применить её свойства.
Боковые стороны — две равные стороны равнобедренного треугольника. Они сходятся в одной вершине: в примере это стороны AB и AC, сходящиеся в A. Эта вершина противоположна основанию и называется вершиной равнобедренного треугольника. Такое обозначение помогает понять, какой угол считать углом при вершине.
Основание равнобедренного треугольника — третья сторона, которая не является боковой. Если AB = AC, то основание — BC. Оно лежит напротив вершины, где сходятся боковые стороны, поэтому по рисунку легко определить нужную сторону. Основание может быть короче или длиннее каждой боковой стороны.
Углы при основании — два угла, прилежащие к основанию. Если основание — BC, это углы ABC и ACB. Их удобно отличать от угла при вершине A: последний образован боковыми сторонами. Названия помогают правильно выбрать углы, которые равны по свойству равнобедренного треугольника.
Чтобы распознать равнобедренный треугольник, сравните длины его сторон: пара равных сторон будет боковыми, а оставшаяся — основанием. Вершину, где боковые стороны соединяются, называют вершиной треугольника; напротив неё лежит основание. Например, при AB = AC основание — BC, а угол A — угол при вершине. Такое обозначение сразу показывает, какие углы являются углами при основании.
Почему углы при основании равны? Проведём из вершины A биссектрису AD к основанию BC: биссектриса делит угол пополам. В треугольниках ABD и ACD равны AB и AC, равны углы BAD и DAC, а AD — общая сторона. Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними; соответствующие углы ABD и ACD тоже равны. Это и есть углы при основании исходного треугольника.
Равенство углов позволяет заключить и о сторонах: против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, если в треугольнике равны два угла, равны и стороны напротив них. Получается обратное утверждение: такой треугольник равнобедренный. При этом боковыми будут именно две равные стороны, а третья сторона станет основанием.
Биссектриса AD из предыдущего рассуждения делит треугольник на равные части. Поэтому отрезки BD и DC равны: AD делит основание пополам и является медианой. Углы при основании в двух получившихся треугольниках равны, а вместе составляют развёрнутый угол, то есть 180°. Значит, каждый из них прямой, поэтому AD перпендикулярна BC и одновременно является высотой.
При вычислении углов объединяйте равенство углов при основании с правилом суммы углов треугольника. Если угол при вершине равен α, а каждый угол при основании — β, то α + 2β = 180°. Например, при α = 40° получаем 2β = 140°, значит, β = 70°. Проверка проста: 40° + 70° + 70° = 180°.
| Утверждение | Что известно | Что можно заключить |
|---|---|---|
| Равенство углов при основании | Равны две боковые стороны | Углы при основании равны |
| Обратное утверждение о сторонах | Два угла треугольника равны | Противоположные им стороны равны; треугольник равнобедренный |
| Биссектриса угла при вершине | Треугольник равнобедренный, проведена биссектриса к основанию | Она делит основание пополам и перпендикулярна ему |
Сначала найдите, что дано в задаче: равные боковые стороны, равные углы или биссектриса угла при вершине. Затем выберите соответствующий вывод из таблицы. Не применяйте строку про биссектрису, пока не установлено, что треугольник равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдём углы при основании. Обозначим каждый из них через x: они равны по свойству равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника составляет 180°.
Оба угла при основании равны 70°. Проверка: 70° + 70° + 40° = 180°, значит, ответ согласуется с суммой углов треугольника. Мы использовали равенство углов при основании, а не предположили, что все три угла одинаковы.
В равнобедренном треугольнике проведена биссектриса угла при вершине. Докажем, что она делит основание пополам и перпендикулярна ему. Пусть AB = AC, основание — BC, а биссектриса AD пересекает BC в точке D. Сравним треугольники ABD и ACD.
Следовательно, AD делит основание BC пополам и перпендикулярна ему. Поэтому она одновременно медиана и высота к основанию. Такой вывод относится именно к биссектрисе угла при вершине равнобедренного треугольника.
В треугольнике два угла равны 52°. Докажем, что он равнобедренный, и найдём стороны, если третья сторона равна 8 см и лежит напротив угла, не равного 52°. Обозначим равные углы как углы A и B. Напротив них лежат стороны BC и AC.
Ответ: треугольник равнобедренный; его боковые стороны равны, основание равно 8 см. Найти длины боковых сторон по имеющимся данным нельзя: для этого не задана ни одна из них. Это различие важно: доказательство равенства сторон не означает, что известна их численная длина.
Ошибка: называть основанием любую сторону. Так путаются, потому что в обычном треугольнике все стороны выглядят равноправными. Но в равнобедренном именно две равные стороны — боковые, а основание — третья сторона. Проверьте себя: назовите сначала пару равных сторон, и только затем укажите оставшуюся.
Ошибка: путать угол при вершине с углами при основании. Угол при вершине образован двумя боковыми сторонами, а углы при основании прилегают к основанию. Путаница возникает, если не проследить, какие стороны образуют каждый угол. На чертеже подпишите основание и найдите угол напротив него — это угол при вершине.
Ошибка: считать равными все три угла. Из определения следует равенство только углов при основании, потому что они лежат напротив равных боковых сторон. Три угла равны лишь в равностороннем треугольнике, а не в каждом равнобедренном. Проверьте вычисления: если все три угла равны, каждый должен быть 60°.
Ошибка: считать любую линию к основанию медианой или высотой. Медианой называют отрезок, делящий сторону пополам, а высотой — перпендикуляр к стороне; сама точка проведения линии этого не гарантирует. Такие свойства имеет биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, что следует из равенства двух частей фигуры. Уточните, откуда проведён отрезок и является ли он биссектрисой, прежде чем делать вывод.
Для доказательств понадобятся сумма углов треугольника, виды углов и признаки равенства треугольников. Свойства равнобедренной фигуры помогают обосновывать равенство углов и отрезков и решать задачи на их вычисление. Они также подготавливают изучение равностороннего треугольника. Равенство треугольников помогает объяснить, почему биссектриса может быть одновременно медианой и высотой.
Как определить, какая сторона равнобедренного треугольника является основанием?
Найдите две равные стороны — это боковые стороны. Третья сторона, не входящая в эту пару, называется основанием. Вершина напротив основания образована боковыми сторонами.
Почему углы при основании равнобедренного треугольника равны?
Проведём биссектрису угла между боковыми сторонами. Она образует два треугольника, равных по двум сторонам и углу между ними. Соответствующие углы при основании этих треугольников равны.
Верно ли, что если два угла треугольника равны, то он равнобедренный?
Да. Против равных углов лежат равные стороны, поэтому у треугольника есть пара равных сторон. Эти стороны являются боковыми, а третья сторона — основанием.
Почему биссектриса угла при вершине одновременно является медианой и высотой?
Она делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника. Поэтому основание делится на равные части, а два угла у основания получаются равными. Так как они вместе составляют 180°, каждый равен 90°.
Может ли равнобедренный треугольник быть равносторонним?
Да. У равностороннего треугольника все три стороны равны, а значит, в нём есть и две равные боковые стороны. При этом любая из сторон может быть названа основанием, если две другие считать боковыми.
§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства
