§ 8. Первый и второй признаки равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, которые при наложении полностью совмещаются. Значит, их можно расположить так, чтобы совпали все вершины и стороны. Поэтому у таких треугольников равны соответствующие стороны и углы. Это определение позволяет понять, что именно нужно доказать, применяя признак.

Соответствующие элементы — стороны и углы, занимающие одинаковое положение в двух треугольниках при сопоставлении вершин. Например, если вершины A и D соответствуют друг другу, то углы при них тоже соответствующие. Сторонам между соответствующими вершинами также ставят в соответствие друг друга. Это нужно, чтобы сравнивать именно те элементы, которые должны совпасть при наложении.

Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Здесь сравнивают три элемента: сторону, вторую сторону и угол, заключённый между ними. Признак помогает не проверять остальные стороны и углы по отдельности.

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Оба угла должны иметь указанную сторону общей границей. Это условие задаёт положение всех трёх вершин и позволяет установить равенство треугольников.

Как это устроено

Чтобы доказать равенство, не требуется отдельно устанавливать равенство всех трёх сторон и всех трёх углов. Если несколько элементов однозначно задают треугольник, совпадение этих элементов заставляет совпасть и его остальные части. Признаки как раз указывают такие достаточные наборы. После доказательства равенства уже можно заключить, что равны и остальные соответствующие стороны и углы.

Представь, что стороны одного треугольника, выходящие из вершины, совпали с двумя соответствующими сторонами другого. Если угол между сторонами тоже одинаков, эти стороны можно наложить друг на друга, а стороны угла — направить одинаково. Концы сторон тогда займут одинаковые положения, третьи вершины совпадут, и треугольники полностью наложатся. Так получается первый признак: две стороны и угол именно между ними задают треугольник.

Для второго признака сначала совмести равные стороны. Затем совмести один прилежащий к ней угол с соответствующим углом другого треугольника, а с другой стороны от общей стороны — второй угол. Лучи, ограничивающие углы, определят положение третьей вершины. Поскольку равны оба угла, эти лучи совпадут с соответствующими лучами второго треугольника, и вершины окажутся на одном месте.

В записи △ABC = △DEF порядок букв показывает соответствие вершин: A соответствует D, B — E, C — F. Поэтому AB соответствует DE, BC — EF, AC — DF, а углы A, B, C соответствуют углам D, E, F. Если переставить буквы, не изменив соответствие, запись станет неверной: она будет утверждать равенство других пар элементов. Перед записью удобно назвать каждую пару соответствующих вершин вслух или отметить её на чертеже.

Выбирая признак, сначала отметь все известные равные стороны и углы. Для первого признака проверь, есть ли две пары равных сторон и равны ли углы между этими сторонами. Для второго проверь, есть ли пара равных сторон и две пары равных углов, каждый из которых прилежит к своей стороне. Если элементы расположены иначе, нужный признак пока не применим: нельзя заменять недостающие данные похожими на глаз.

Первый и второй признаки равенства треугольников

Сначала найди в условии известные пары равных элементов, а затем сравни их расположение с таблицей. Угол между сторонами и углы, прилежащие к стороне, — разные условия, поэтому их нельзя путать. Порядок вершин в записи используй как проверку: соответствующие элементы должны совпадать попарно.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF равны AB и DE, AC и DF, а углы между этими сторонами равны. Докажите равенство треугольников. Сначала установим соответствие: обе данные стороны из вершины A сопоставлены сторонам из вершины D. Угол между AB и AC — это угол A, а между DE и DF — угол D.

1. По условию AB = DE и AC = DF.
2. Углы между равными парами сторон равны, то есть ∠A = ∠D.
3. Получены две пары равных сторон и равные углы между ними. Это условие первого признака.
4. Запишем треугольники в порядке соответствия вершин: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Ответ: △ABC = △DEF по первому признаку равенства треугольников. Значит, соответствующие стороны и углы этих треугольников равны.

Задача 2. В треугольниках ABC и DEF равны AB и DE, угол A равен углу D, а угол B равен углу E. Докажите равенство треугольников. Нужно проверить не только, что есть равная сторона и два равных угла, но и что оба угла прилегают к этой стороне. В △ABC сторона AB ограничивает углы A и B, а в △DEF сторона DE ограничивает углы D и E.

1. По условию AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E.
2. Оба равных угла в каждом треугольнике прилежат к указанной равной стороне.
3. Следовательно, выполнено условие второго признака: равны сторона и два прилежащих к ней угла.
4. Вершины сопоставляются так: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Ответ: △ABC = △DEF по второму признаку равенства треугольников. Из этого следуют равенства всех соответствующих элементов.

Задача 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = CO и BO = DO. Докажите равенство треугольников AOB и COD. Данные отрезки дают две пары равных сторон, но сами по себе ещё не образуют условие признака. Нужно найти угол между сторонами в каждом треугольнике и сравнить эти углы.

1. По условию AO = CO и BO = DO.
2. Углы AOB и COD — вертикальные, поэтому они равны.
3. В △AOB угол AOB находится между AO и BO, а в △COD угол COD находится между CO и DO. Значит, равны две стороны и угол между ними.
4. Соответствие вершин: A ↔ C, O ↔ O, B ↔ D. Применяем первый признак.

Ответ: △AOB = △COD по первому признаку равенства треугольников.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применить первый признак, когда равны две стороны и угол напротив одной из них. Такой угол не заключён между сторонами, поэтому требуемое условие не выполнено. Обычно путают любой известный угол с углом между сторонами. Проверь, что вершина угла является общей точкой обеих сравниваемых сторон.

Вторая ошибка — применить второй признак, если равные углы не прилегают к указанной равной стороне. Два угла могут быть равны, но это ещё не означает, что они вместе с данной стороной образуют нужный набор. Чтобы проверить себя, назови сторону и убедись, что оба угла имеют её стороной одну из своих сторон. Если хотя бы один угол не граничит с ней, признак не подходит.

Третья ошибка — неверно сопоставить вершины и записать треугольники в неподходящем порядке. Тогда, например, равную сторону одного треугольника можно случайно поставить напротив другой стороны второго. Это происходит, если сравнивать названия, а не положение элементов. Сначала установи соответствующие вершины по условию, затем запиши треугольники так, чтобы пары вершин стояли на одинаковых местах.

Четвёртая ошибка — считать треугольники равными по одной или двум парам равных элементов, не проверив целиком условие признака. Например, равенство только двух сторон не сообщает, каким получился угол между ними. Не делай вывод по сходству рисунка: чертёж может быть выполнен неточно. Перечисли данные и проверь, составляют ли они два равных элемента и угол между ними либо сторону и два прилежащих к ней угла.

Связь с другими темами

Перед изучением признаков нужно знать, что такое сторона, вершина и угол треугольника, уметь обозначать фигуры и распознавать виды углов. Также пригодятся свойства вертикальных и смежных углов: например, равенство вертикальных углов помогает найти нужный элемент для первого признака. Эти знания позволяют выделить данные и правильно сопоставить вершины.

Признаки равенства используют дальше, чтобы доказывать равенство отдельных отрезков и углов. Они помогают обосновывать геометрические свойства и решать задачи на построение и доказательство. Если доказано равенство треугольников, соответствующие элементы можно приравнивать уже на основании этого результата.

Что запомнить

• Первый признак: две стороны и угол между ними.
• Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
• Угол в первом признаке должен находиться между данными сторонами.
• Во втором признаке оба данных угла должны прилегать к указанной стороне.
• При записи равных треугольников порядок букв задаёт соответствие вершин.
• Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих сторон и углов.