§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении полностью совпадают. Значит, у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы. Слово «соответствующие» указывает на элементы, которые совмещаются друг с другом. Это определение помогает понять, какие именно стороны и углы можно сравнивать.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°. Точку, где высота пересекает прямую, называют основанием высоты. Высота нужна, чтобы проводить перпендикуляры и находить расстояние от вершины до противоположной стороны.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Середина делит сторону на два отрезка одинаковой длины. Конец медианы на стороне обычно обозначают отдельной буквой, например AM, где M — середина BC. Это определение позволяет быстро узнать, какие части стороны равны.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, который соединяет вершину с противоположной стороной. Биссектриса угла делит его на два равных угла. Если AD — биссектриса угла A, то ∠BAD = ∠DAC. Зная это, можно находить части угла и строить нужный отрезок.

Как это устроено

Чтобы установить соответствие вершин равных треугольников, мысленно наложи один треугольник на другой. Вершины, которые совпали, соответствуют друг другу; вместе с ними совпадают стороны и углы. В записи равенства порядок букв должен сохранять эту связь. Например, запись △ABC = △DEF означает, что A соответствует D, B — E, а C — F; перестановка букв без проверки может задать совсем другое соответствие.

Высоту проводят из выбранной вершины к прямой, на которой лежит противоположная сторона. Причина в самом определении: расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, а не по наклонному отрезку. В остроугольном треугольнике основания высот лежат на сторонах. Если один угол треугольника тупой, некоторые перпендикуляры пересекут не сторону, а её продолжение, поэтому высота может выйти за пределы треугольника.

Для построения медианы сначала находят середину противоположной стороны. Если сторона BC, а её середина — M, то BM = MC; именно равенство этих частей является признаком середины. Затем проводят отрезок от вершины A до точки M. Так конец медианы определяется не видом угла, а тем, что он делит сторону пополам.

Биссектрису проводят из вершины так, чтобы она разделила угол на две равные части. Например, если нужно провести биссектрису угла A, её луч должен пройти внутри угла так, чтобы углы по обе стороны луча были одинаковыми. Точка пересечения этого луча с противоположной стороной задаёт конец отрезка. Поэтому при решении задач о биссектрисе сравнивают части угла, а не части стороны.

Все три отрезка выходят из вершины, но условия для них разные: высота перпендикулярна прямой стороны, медиана попадает в середину стороны, биссектриса делит угол пополам. Одного условия недостаточно, чтобы приписать отрезку свойства двух других. В равнобедренном треугольнике отрезок из вершины между равными сторонами может одновременно быть высотой, медианой и биссектрисой. Это совпадение возникает из дополнительных свойств такого треугольника, а не из самих определений.

Три отрезка треугольника, проведённые из вершины

Сначала смотри на условие, которое выполняется для отрезка, а затем определяй его название. Если известна середина стороны — это признак медианы; если прямой угол — высоты. Равные части угла указывают на биссектрису.

Разбор задач

Соответствие при наложении

Условие: два треугольника совмещаются наложением. По результату наложения видно, что вершины A, B, C первого треугольника совпали соответственно с D, E, F второго. Нужно указать соответствующие стороны и углы и записать равенство треугольников. Порядок записи начинаем с соответствия вершин, а не просто с удобных букв.

1. Записываем пары совпавших вершин: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Это задаёт порядок букв в записи.
2. Сопоставляем стороны, соединяющие соответствующие пары вершин: AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF. Углы при вершинах также соответствуют: ∠A ↔ ∠D, ∠B ↔ ∠E, ∠C ↔ ∠F.
3. Записываем равенство с сохранением порядка: △ABC = △DEF. Если изменить порядок букв только в одном треугольнике, обозначения соответствующих элементов могут перестать совпадать.

Ответ: соответствуют A и D, B и E, C и F; стороны AB и DE, BC и EF, AC и DF; углы A и D, B и E, C и F; △ABC = △DEF.

Высота и медиана из вершины A

Условие: в треугольнике ABC требуется построить высоту и медиану из вершины A. Для высоты нужно обеспечить прямой угол с прямой BC. Для медианы надо найти середину BC, поэтому это два отдельных построения, даже если оба отрезка начинаются в A.

1. Продлеваем BC, если это необходимо, и из A проводим перпендикуляр к прямой BC. Обозначим точку пересечения H; тогда AH — высота, а H — основание высоты.
2. Находим середину стороны BC и обозначаем её M. Проверяем, что BM = MC, поскольку без равенства частей точка не доказана как середина.
3. Соединяем A с M. Получаем медиану AM; она делит BC на равные отрезки, а перпендикулярность для неё не требуется.

Ответ: AH — высота, AH ⟂ BC; AM — медиана, BM = MC. Если треугольник тупоугольный, точка H может оказаться на продолжении BC.

Угол, разделённый биссектрисой

Условие: AD — биссектриса угла A треугольника ABC, D лежит на BC, а ∠BAD = 32°. Нужно найти ∠DAC и определить, следует ли считать AD высотой или медианой. Известно только свойство биссектрисы, поэтому сначала применяем его к углу A.

1. По определению биссектриса делит угол A на две равные части. Следовательно, ∠BAD = ∠DAC.
2. Подставляем известное значение: ∠DAC = 32°. Равные части вместе составляют ∠A, то есть ∠A = 64°.
3. Проверяем другие определения отдельно. Для высоты нужно доказать AD ⟂ BC, а для медианы — что BD = DC; таких сведений в условии нет.

Ответ: ∠DAC = 32°. AD не обязательно является высотой или медианой: для этого потребовались бы дополнительные данные о прямом угле или равенстве BD и DC.

Типичные ошибки

Ошибка: объявлять треугольники равными, потому что у них совпала одна сторона или один угол. Отдельное равенство элементов ещё не означает, что при наложении совпадут все элементы. Так думают, потому что равные части легко заметить на чертеже, но рисунок может быть неточным. Проверяй, установлено ли соответствие всех вершин и действительно ли треугольники полностью совмещаются.

Ошибка: неверно сопоставлять вершины в записи равных треугольников. Если A соответствует D, то буквы A и D должны стоять на одном месте в записи, иначе стороны и углы будут прочитаны неправильно. Обычно путаница возникает из-за того, что вершины записывают в случайном порядке. Перед записью выпиши пары соответствующих вершин и проверь, что порядок сохранён.

Ошибка: считать, что высота всегда проходит внутри треугольника. В тупоугольном треугольнике перпендикуляр из вершины может пересечь продолжение противоположной стороны. Это легко упустить, если помнить только рисунки остроугольных треугольников. Проверяй не положение основания внутри фигуры, а главное условие: высота перпендикулярна прямой, содержащей сторону.

Ошибка: путать высоту, медиану и биссектрису. У них общий признак — все выходят из вершины, поэтому на рисунке отрезки могут казаться похожими. Но медиана делит пополам сторону, биссектриса — угол, а высота образует прямой угол со стороной или её продолжением. Чтобы проверить название, найди в условии именно нужное свойство и не делай вывод по одному внешнему виду.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся понятия треугольника, его вершины, стороны и угла, а также перпендикулярных прямых и середины отрезка. Равенство треугольников и правильное соответствие их элементов пригодятся при изучении признаков равенства и доказательстве задач. Высоты, медианы и биссектрисы используются в дальнейших построениях и при нахождении элементов треугольника. Поэтому важно не только запомнить названия, но и уметь проверять определяющее свойство каждого отрезка.

Что запомнить

• Равные треугольники совпадают при наложении.
• У равных треугольников равны соответствующие стороны и углы.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону.
• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса делит угол при вершине на два равных угла.
• Высота, медиана и биссектриса могут совпасть, но это не следует из их определений.