§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении полностью совмещаются. Значит, равны не только их формы, но и размеры: соответствующие стороны имеют одинаковую длину, а соответствующие углы — одинаковую величину. Например, если △ABC = △DEF, то вершины A и D, B и E, C и F соответствуют друг другу. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры и переносить свойства одного треугольника на другой.

Высота треугольника — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр — это прямая, образующая с другой прямой угол 90°. Высоту обозначают буквами её концов, например AD; у основания высоты получается прямой угол. Определение помогает узнать высоту даже тогда, когда она выходит за пределы треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Середина отрезка — точка, которая делит его на два равных отрезка. Если M — середина AC, то AM = MC, а BM — медиана треугольника ABC. По медиане удобно находить и обозначать равные части стороны.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, который соединяет вершину с противоположной стороной. Биссектриса угла делит его на два равных угла. Если BD — биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠DBC. Это определение позволяет связать отрезок внутри треугольника с равенством углов.

Как это устроено

При наложении равных треугольников вершины совпадают попарно, а вместе с ними совпадают и стороны, выходящие из этих вершин. Поэтому соответствие устанавливают не просто по расположению букв, а по тому, какие вершины совмещаются. В записи △ABC = △DEF порядок букв показывает пары A—D, B—E и C—F. Если переставить буквы, можно случайно сравнить несоответствующие стороны или углы, поэтому порядок записи важен.

Чтобы провести высоту, сначала выбирают вершину, а затем проводят из неё перпендикуляр к прямой, на которой лежит противоположная сторона. Именно прямая, а не обязательно отрезок стороны, указана в определении: так высоту можно провести и тогда, когда перпендикуляр попадает на продолжение стороны. Если основание высоты оказалось на самой противоположной стороне, отрезок лежит внутри треугольника. В тупоугольном треугольнике некоторые основания оказываются на продолжениях сторон, поэтому высоты могут быть снаружи.

Медиану строят иначе: находят середину противоположной стороны и соединяют её с вершиной. Середина по определению находится на равном расстоянии от обоих концов стороны, поэтому для медианы BM к AC выполняется AM = MC. Равенство частей здесь появляется не из направления отрезка, а из того, где расположен его конец. Если конец не является серединой, отрезок не будет медианой.

Биссектрису проводят из вершины по направлению, которое делит угол между двумя сторонами на две равные части. Она пересекает противоположную сторону, а часть луча от вершины до этой точки и есть биссектриса треугольника. Например, если BD делит угол ABC пополам, то углы ABD и DBC равны. Равенство относится к углам при вершине B, а не к отрезкам, на которые точка D разделила сторону AC.

Высота, медиана и биссектриса начинаются в вершине и направляются к противоположной стороне, но условие для каждого отрезка своё. У высоты это перпендикулярность, у медианы — середина стороны, у биссектрисы — равные углы. Поэтому один из этих отрезков обычно не выполняет условия для двух других. Совпасть они могут в особых треугольниках, но это нужно обосновать, а не считать правилом.

Высота, медиана и биссектриса треугольника

Пользуйся таблицей, чтобы проверять отрезок по его главному условию, а не только по тому, что он выходит из вершины. Сначала найди, что именно делится пополам или где образуется прямой угол. Так легче отличить три отрезка, даже если на чертеже они выглядят похоже.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC отрезок AD перпендикулярен прямой BC. Как называется AD и при каком условии он будет лежать внутри треугольника? Проверим определение высоты: она должна идти из вершины к прямой противоположной стороны под прямым углом. Здесь перпендикулярность уже дана, поэтому осталось определить положение точки D.

1. Отрезок начинается в вершине A, противоположная сторона — BC.
2. Так как AD ⟂ BC, отрезок AD является высотой из вершины A.
3. Если D принадлежит отрезку BC, высота лежит внутри треугольника; если D находится на продолжении BC, она выходит за его пределы.

Ответ: AD — высота; внутри треугольника она лежит, когда D находится на стороне BC.

Задача 2

Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. Как называется отрезок BM и какие равенства следуют из условия? Середина стороны означает, что точка лежит на стороне и делит её на две равные части. Поэтому сначала запишем равенство этих частей, а затем определим отрезок из противоположной вершины.

1. Из того, что M — середина AC, следует AM = MC.
2. Отрезок BM соединяет вершину B с серединой противоположной стороны AC.
3. По определению BM — медиана треугольника ABC.

Ответ: BM — медиана, AM = MC.

Задача 3

В треугольнике ABC луч BD делит угол ABC пополам и пересекает AC в точке D. Назовите отрезок BD и сравните углы ABD и DBC. Условие прямо сообщает, что угол разделён пополам, значит, речь идёт о биссектрисе. Точка пересечения с противоположной стороной ограничивает нужный отрезок.

1. Луч BD делит угол ABC на два равных угла.
2. Поскольку D лежит на AC, часть луча от B до D — отрезок BD внутри треугольника.
3. По определению BD является биссектрисой треугольника, а углы ABD и DBC равны.

Ответ: BD — биссектриса; ∠ABD = ∠DBC.

Типичные ошибки

Называть высотой любой отрезок от вершины к противоположной стороне — ошибка: он может быть наклонным. Так поступают, когда ориентируются только на внешний вид чертежа и забывают условие определения. Проверь, отмечен ли прямой угол или указана ли перпендикулярность к прямой стороны.

Считать, что высота всегда проходит внутри треугольника, тоже неверно. Такое представление возникает, если вспоминать только остроугольные треугольники, где все высоты находятся внутри. Проверь положение основания: в тупоугольном треугольнике оно может лежать на продолжении стороны.

Медиану иногда путают с биссектрисой, потому что обе идут из вершины к противоположной стороне. Но медиана делит пополам сторону, а биссектриса — угол; одно условие не следует из другого. Чтобы проверить себя, найди, какие именно части должны быть равны: отрезки стороны или углы при вершине.

Нельзя утверждать, что высота, медиана и биссектриса из одной вершины всегда совпадают. Ошибку вызывает особый случай равнобедренного треугольника, в котором эти отрезки действительно могут совпасть. Проверяй каждое определение отдельно: нужны перпендикулярность, середина стороны и деление угла пополам.

Связь с другими темами

Для изучения этой темы нужны понятия отрезка и его середины, угла, биссектрисы угла и перпендикулярных прямых. Без них нельзя точно сформулировать, чем отличаются высота, медиана и биссектриса. Равные треугольники и соответствующие элементы понадобятся при доказательстве признаков равенства треугольников. Высоты, медианы и биссектрисы будут использоваться при изучении свойств треугольников, а также в задачах на построение и доказательство.

Что запомнить

• У равных треугольников равны соответствующие стороны и углы.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону.
• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса делит угол при вершине на два равных угла.
• Высота, медиана и биссектриса — разные отрезки, хотя все выходят из вершины.
• В тупоугольном треугольнике высота может лежать вне треугольника.