§ 6. Аксиомы

Определения и обозначения

Аксиома — исходное утверждение геометрии, которое принимают без доказательства. Это не догадка и не правило, придуманное для одной задачи: аксиома задаёт общее основание для рассуждений. Благодаря ей можно начинать доказывать другие утверждения.

Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают доказательством. В отличие от аксиомы, теорему нельзя просто принять: нужно показать, почему она верна. Для этого используют аксиомы и теоремы, доказанные ранее.

Доказательство — последовательность рассуждений, обосновывающих теорему с опорой на известные утверждения. В нём каждый вывод должен следовать из условия задачи или уже принятого правила. Доказательство нужно, чтобы убедиться в верности утверждения, а не только увидеть его на чертеже.

Геометрический объект — точка, прямая, отрезок, угол или другая фигура, о свойствах и взаимном расположении которых говорят аксиомы. Например, можно выяснять, лежит ли точка на прямой или как части отрезка связаны с целым. Названия точек обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C.

Как это устроено

Геометрия начинается с утверждений, которые не доказывают внутри самой теории. Иначе для доказательства первого правила понадобилось бы другое правило, для него — ещё одно, и так без конца. Аксиомы дают общую отправную точку, благодаря которой рассуждения могут двигаться дальше. Это похоже на правила игры: пока они установлены, можно проверять, какие ходы из них следуют.

Аксиомы о точках и прямых задают исходные правила их взаимного расположения. Например, через любые две различные точки проходит прямая, причём только одна. Это позволяет по паре точек определить прямую и обосновать, почему нельзя провести через них две разные прямые. Но вывод относится именно к двум данным точкам: нельзя автоматически заключать, что какая-то третья точка лежит на этой прямой.

Аксиомы порядка нужны потому, что расположение точек на одной прямой может быть разным. Если три точки лежат на прямой, этого ещё недостаточно, чтобы понять, какая из них находится между двумя другими. Когда известно, что B лежит между A и C, можно говорить о двух частях отрезка AC — AB и BC. Такое условие связывает порядок точек с дальнейшими рассуждениями о длинах.

Аксиомы измерения обосновывают сравнение длин отрезков и величин углов, а также их сложение. Если точка B находится между A и C, две части AB и BC составляют целый отрезок AC, поэтому AC = AB + BC. Аналогично складывают величины двух углов, когда они расположены так, что вместе образуют один больший угол без наложения внутренних областей. Сначала проверяют расположение частей, а уже потом записывают сумму.

Новые утверждения получают, соединяя исходные правила с тем, что уже доказано. Сначала выделяют условие задачи, затем выбирают подходящие аксиомы или известные теоремы и делают из них последовательные выводы. Полученное утверждение становится теоремой, если его истинность обоснована доказательством. Позже доказанные теоремы тоже можно использовать как опору для новых рассуждений.

Основные группы аксиом и что они устанавливают

Используй таблицу как подсказку: сначала определи, о каких объектах и отношениях говорится в условии. Затем выбери группу аксиом, которая описывает именно эту ситуацию, и проверь, выполнены ли её условия.

Разбор задач

Задача 1. Даны две различные точки A и B. Сколько прямых проходит через них? Чтобы ответить, важно выяснить не только, существует ли такая прямая, но и можно ли провести ещё одну. Здесь применяют аксиому о прямой через две точки.

1. По условию A и B — две различные точки.
2. Аксиома утверждает, что через любые две различные точки проходит прямая.
3. Та же аксиома устанавливает единственность: другой прямой, проходящей через обе эти точки, нет.

Ответ: через A и B проходит ровно одна прямая. Утверждение не говорит, где находится какая-либо третья точка, поэтому дополнительных выводов о ней делать нельзя.

Задача 2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Как связаны длины AB, BC и AC? Одной лишь принадлежности точек прямой было бы недостаточно, чтобы определить, какой отрезок состоит из двух частей. Но в условии прямо задано, что B лежит между A и C.

1. Отрезок AC — целый отрезок, а AB и BC — его части.
2. Поскольку B находится между A и C, части AB и BC составляют весь отрезок AC.
3. По аксиоме сложения длин отрезков записываем: AC = AB + BC.

Ответ: AC = AB + BC. Если вместо этого B лежала бы за пределами отрезка AC, такое равенство нельзя было бы получить по этому условию.

Задача 3. Два угла имеют общую вершину и общий луч, а внутренние области не пересекаются. Как выразить величину угла, образованного двумя внешними лучами? Нужно проверить, что общий луч разделяет больший угол на два угла, не накладывающихся друг на друга. Тогда можно применить аксиому сложения величин углов.

1. Обозначим два угла как ∠AOB и ∠BOC: O — общая вершина, OB — общий луч.
2. Так как внутренние области не пересекаются, эти углы составляют один угол между внешними лучами OA и OC.
3. По аксиоме сложения величин углов величина целого угла равна сумме частей: ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC.

Ответ: величина угла между внешними лучами равна сумме величин двух данных углов. Если внутренние области пересекаются, складывать их таким способом нельзя.

Типичные ошибки

• Ошибочно считать аксиому теоремой, которую необходимо доказать, или, наоборот, теорему исходным правилом. Так путают два вида утверждений, потому что оба могут звучать как общий факт. Проверь себя: если истинность нужно обосновать рассуждением, перед тобой теорема.

• Из того, что через две точки проходит прямая, иногда заключают слишком много, например, сразу добавляют на неё третью точку. Это происходит, когда к аксиоме мысленно присоединяют сведения, которых в ней нет. Проверь, относится ли каждый вывод к указанным в условии объектам.

• Принадлежность точки прямой путают с расположением между двумя точками. Все три точки могут лежать на одной прямой, но порядок их расположения задаётся отдельно. Чтобы проверить себя, найди в условии прямое указание, какая точка лежит между какими.

• Записывают сумму длин отрезков или величин углов, не проверив, образуют ли части целое. Ошибка возникает, если ориентироваться только на похожий чертёж, а не на заданное расположение. Перед сложением убедись, что отрезки составляют целый отрезок или углы вместе образуют один угол без наложения.

Связь с другими темами

Для работы с аксиомами нужны знания о точках, прямых, отрезках и углах, их обозначениях и измерении. На этих исходных правилах строятся доказательства теорем о треугольниках, параллельных и перпендикулярных прямых. Различать аксиому, теорему и доказательство важно не только в этом параграфе: это основа рассуждений во всей дальнейшей геометрии.

Что запомнить

• Аксиомы принимают без доказательства.
• Теоремы требуют доказательства.
• Аксиомы задают исходные отношения между геометрическими объектами.
• В доказательстве опираются на аксиомы и ранее доказанные теоремы.
• Прежде чем применять аксиому, нужно проверить, выполнены ли её условия.
• Равенство длин частей целого используют только при правильном расположении этих частей.