§ 5. Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до отрезка (луча)

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это пересекающиеся прямые, которые образуют прямой угол, равный 90°. Их записывают так: a ⟂ b. Это обозначение сразу сообщает, что угол между прямыми прямой, поэтому его можно использовать при решении задач.

Перпендикуляр к прямой — отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной данной, и имеющий один конец на данной прямой. Другими словами, он соединяет прямую с точкой, откуда его провели, и встречает прямую под углом 90°. Перпендикуляр нужен, чтобы найти кратчайшее расстояние до прямой.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с данной прямой. Например, если отрезок MH перпендикулярен прямой AB и H лежит на AB, то H — основание перпендикуляра. По этой точке проверяют, подходит ли длина перпендикуляра для расстояния до отрезка или луча.

Расстояние от точки до отрезка или луча — длина кратчайшего отрезка, соединяющего эту точку с какой-либо точкой отрезка или луча. Если основание перпендикуляра попадает на отрезок или луч, кратчайшим будет перпендикуляр. Если не попадает, расстояние нужно искать до ближайшего конца рассматриваемой части прямой.

Как это устроено

Когда две прямые пересекаются под прямым углом, один из образованных углов равен 90°. Угол напротив него вертикальный, а вертикальные углы равны, поэтому он тоже равен 90°. Каждый из двух оставшихся углов смежный с прямым, а сумма смежных углов равна 180°; значит, каждый из них также равен 90°.

Символ ⟂ заменяет длинное словесное описание и фиксирует условие задачи: угол между прямыми равен 90°. Например, из записи a ⟂ b можно сразу заключить, что любой угол, образованный прямыми a и b, прямой. Поэтому не требуется заново доказывать величину каждого из четырёх углов.

Если точка находится вне прямой, к этой прямой проводят перпендикуляр. Он короче любого наклонного отрезка, который соединяет ту же точку с другой точкой прямой: наклонный отрезок образует прямоугольный треугольник, где перпендикуляр является катетом, а наклонный отрезок — гипотенузой. Гипотенуза длиннее катета, поэтому длина перпендикуляра и есть расстояние от точки до прямой.

У отрезка и луча есть не все точки прямой, на которой они лежат: у отрезка ограничены оба конца, а у луча есть начало. Поэтому после построения перпендикуляра недостаточно измерить его длину — нужно проверить, принадлежит ли основание нужному отрезку или лучу. Если принадлежит, этот перпендикуляр достигает рассматриваемой части прямой и задаёт расстояние до неё.

Если основание перпендикуляра не принадлежит отрезку или лучу, опустить перпендикуляр именно на нужную часть прямой не получится. Тогда ближайшей точкой отрезка или луча будет один из его концов. Расстояние до этой части находят по отрезку, соединяющему исходную точку с таким концом, и сравнивают с расстояниями до других возможных концов.

Как определить расстояние от точки до отрезка или луча

Сначала проведи перпендикуляр к прямой, на которой лежат отрезок или луч, и отметь его основание. Затем проверь, попало ли основание на рассматриваемую часть. Если нет, определи ближайший конец: у луча, когда основание за началом, это начало луча.

Разбор задач

Задача 1. Углы при пересечении прямых

Прямые AB и CD пересекаются в точке O. Один из образованных углов равен 90°. Нужно определить остальные углы. Рассмотрим отдельно угол, вертикальный данному, и два соседних угла: для этого используем свойства вертикальных и смежных углов.

1. Вертикальный данному угол равен ему, поэтому он тоже равен 90°.
2. Каждый из двух соседних углов смежный с данным. Их сумма с ним равна 180°, значит, каждый соседний угол равен 180° − 90° = 90°.

Таким образом, все четыре угла прямые. Прямые AB и CD перпендикулярны, то есть AB ⟂ CD.

Задача 2. Расстояние до отрезка

Из точки M опущен перпендикуляр к отрезку AB, его основание H принадлежит отрезку. Длина MH равна 5 см. Нужно найти расстояние от M до AB. Поскольку H лежит на отрезке, перпендикуляр приходит в точку, которая входит в рассматриваемую часть прямой.

1. Проверяем условие о положении основания: H ∈ AB.
2. Значит, кратчайшее расстояние от M до отрезка AB измеряется по перпендикуляру MH.
3. Подставляем известную длину: MH = 5 см.

Расстояние от точки M до отрезка AB равно 5 см. Если бы основание H не лежало на отрезке, одной длины MH было бы недостаточно: пришлось бы искать расстояние до ближайшего конца.

Задача 3. Расстояние до луча

Точка M находится вне луча AB. Основание перпендикуляра из M к прямой AB лежит за началом луча A. Нужно сравнить расстояния от M до точки A и от M до луча AB. Хотя перпендикуляр кратчайший до всей прямой AB, его основание не принадлежит лучу AB.

1. Обозначим основание перпендикуляра H. По условию H расположено за началом A, то есть не лежит на луче AB.
2. Точка H не может задавать расстояние от M до луча, поэтому рассматриваем его начало A.
3. Луч содержит точку A, а остальные его точки лежат дальше от M, чем A: в прямоугольном треугольнике MAH угол при A тупой, поэтому при движении от A по лучу расстояние от M возрастает.

Расстояние от M до луча AB равно MA. Оно совпадает с расстоянием от M до точки A; расстояние до луча не больше расстояния до любой его точки.

Типичные ошибки

Ошибка: считать перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Пересечение само по себе не означает, что угол равен 90°; такой вывод иногда делают, потому что прямые просто выглядят почти перпендикулярными на чертеже. Проверь условие или вычисли угол: прямые перпендикулярны только при прямом угле.

Ошибка: принимать за расстояние до прямой длину наклонного отрезка. Его выбирают, потому что он тоже соединяет точку с прямой, но наклонный отрезок длиннее перпендикуляра. Проверь, образует ли выбранный отрезок угол 90° с прямой: расстояние измеряют только по перпендикуляру.

Ошибка: использовать длину перпендикуляра, даже если его основание не принадлежит отрезку или лучу. Так делают, забывая, что рассматриваемая часть прямой содержит не все её точки. Отметь основание на чертеже и проверь принадлежность; если оно вне нужной части, ищи ближайший конец.

Ошибка: путать основание перпендикуляра с точкой, из которой его провели. Эти точки часто обозначают буквами рядом, поэтому их можно перепутать. Основание всегда лежит на данной прямой, а исходная точка — та, откуда перпендикуляр проведён; проверь положение каждой точки относительно прямой.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать задачи на перпендикулярность, нужно уметь различать виды углов и пользоваться свойствами смежных и вертикальных углов. Также необходимо понимать, как обозначают прямой угол: это помогает увидеть, какое именно условие дано и что из него следует. Перпендикулярность понадобится при построениях циркулем и линейкой, а позднее — при изучении высот треугольника. Эти знания помогают решать и другие задачи на расстояния.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под углом 90°.
• Обозначение перпендикулярности — ⟂.
• Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с прямой.
• Для расстояния до отрезка или луча основание перпендикуляра должно принадлежать этой части прямой.
• Если основание не принадлежит отрезку или лучу, сравнивают расстояния до его концов.