"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
При пересечении прямых образуются четыре угла, связанные простыми правилами. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны продолжают одна другую; поэтому их сумма равна 180°. Вертикальные углы расположены напротив друг друга и равны. Эти свойства помогают быстро находить неизвестные углы и проверять решения задач о пересекающихся прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Противоположные лучи — это два луча с общим началом, которые лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Вместе они образуют прямую линию. Если такие лучи служат несмежными сторонами двух углов, то углы могут оказаться смежными. Поэтому при поиске смежной пары важно проверить не только наличие общей стороны, но и положение двух остальных сторон.
Смежные углы — это два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Иными словами, углы стоят рядом, а их внешние стороны образуют прямую. Это определение помогает отличить смежную пару от любых двух углов, которые просто соприкасаются на чертеже. Для смежных углов всегда можно применить правило о сумме 180°.
Вертикальные углы — это два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Такие углы возникают напротив друг друга, когда пересекаются две прямые. У них нет общей стороны, но есть общая вершина. Определение позволяет узнать вертикальную пару и использовать её главное свойство: градусные меры этих углов равны.
Представим две прямые, пересекающиеся в точке O. Они образуют четыре угла вокруг этой точки: обозначим их по порядку ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4. Соседние пары ∠1 и ∠2, ∠2 и ∠3, ∠3 и ∠4, ∠4 и ∠1 — смежные: у каждой пары есть общая сторона, а две другие стороны лежат на одной прямой. Напротив друг друга расположены пары ∠1 и ∠3, а также ∠2 и ∠4; это вертикальные углы.
Чтобы понять, почему сумма смежных углов равна 180°, мысленно поставим их рядом по общей вершине и общей стороне. Две остальные стороны смежных углов — противоположные лучи, значит, они образуют прямую. Вместе углы заполняют развёрнутый угол, градусная мера которого равна 180°. Следовательно, если один угол обозначить α, а другой β, то α + β = 180°.
Из правила о сумме можно вывести, какими будут два смежных угла. Если один из них острый, то он меньше 90°, поэтому второму до 180° остаётся больше 90°; значит, второй угол тупой. Если один угол прямой и равен 90°, то второй равен 180° − 90° = 90° и тоже является прямым. Здесь речь именно о паре смежных углов, а не о любых двух углах рядом.
Вертикальные углы равны, хотя их стороны не общие. Пусть ∠1 и ∠3 — вертикальные, а ∠2 соседствует с каждым из них. Тогда ∠1 + ∠2 = 180° и ∠3 + ∠2 = 180°, потому что обе пары смежные. Из этих равенств следует, что ∠1 и ∠3 равны: каждый дополняет один и тот же угол ∠2 до 180°.
При решении задачи сначала определяют, какие углы вертикальные, а какие смежные. Если известный угол равен, например, 50°, его вертикальный угол тоже равен 50°. Каждый из двух соседних с ним углов равен 180° − 50° = 130°, поскольку образует с известным смежную пару. Так можно найти все четыре угла, не измеряя их по рисунку.
| Вид пары углов | Как расположены | Соотношение градусных мер | Что можно определить |
|---|---|---|---|
| Смежные углы | Есть общая вершина и сторона; две другие стороны — противоположные лучи. | Сумма равна 180°. | Неизвестный угол находят как 180° минус известный. |
| Вертикальные углы | Расположены напротив; стороны одного являются продолжениями сторон другого. | Градусные меры равны. | Неизвестный угол равен известному ему вертикальному углу. |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала проверьте расположение сторон углов, а затем выберите нужное соотношение. Для смежной пары применяйте сумму 180°, для вертикальной — равенство градусных мер. Не определяйте вид пары только по тому, как она выглядит на рисунке.
Смежные углы образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°. Обозначим неизвестную градусную меру буквой x. Чтобы найти её, вычтем из общей суммы величину известного угла.
Ответ: 112°.
Сначала найдём угол напротив данного: он вертикальный, поэтому равен ему. Два оставшихся угла соседствуют с углом 127°, следовательно, каждый из них смежный с ним. Их градусные меры одинаковы, так как оба равны разности между 180° и 127°.
Ответ: 127°, 53° и 53°.
Отношение 2:7 означает, что первый угол содержит две одинаковые части, а второй — семь таких частей. Обозначим величину одной части через x; тогда углы равны 2x и 7x. Поскольку они смежные, их сумма должна составлять 180°.
Ответ: 40° и 140°.
Ошибка — считать смежными любые два угла с общей стороной. Так происходит потому, что на рисунке углы могут казаться соседними, хотя их другие стороны не образуют прямую. Проверьте определение: у смежных углов должны совпадать вершина и одна сторона, а две оставшиеся стороны обязаны быть противоположными лучами. Если последнее условие не выполнено, правило о сумме 180° применять нельзя.
Неверно считать, что смежные углы обязательно равны. Их часто путают с вертикальными, потому что обе пары возникают при пересечении прямых. На самом деле смежные углы складываются до 180° и обычно имеют разные меры. Для самопроверки сложите найденные значения: если пара смежная, результат должен быть 180°, а не обязательно одинаковые числа.
Не складывайте вертикальные углы до 180° и не используйте для них правило смежной пары. Такая ошибка возникает, если ориентироваться только на то, что все четыре угла находятся у одной точки пересечения. У вертикальных углов общая вершина, но они расположены напротив друг друга и равны. Проверьте, являются ли стороны одного угла продолжениями сторон другого; если да, углы вертикальные.
Ещё одна ошибка — перепутать пары углов на чертеже, полагаясь только на внешнее сходство или величину раскрытия. Чертёж может быть выполнен неточно, поэтому по виду нельзя надёжно решать, какие углы равны или дополняют друг друга до 180°. Отметьте вершину, общую сторону и направления остальных сторон. После этого определите пару по её расположению, а не по тому, как она выглядит.
Для изучения углов при пересечении прямых нужно знать, что такое угол, где находятся его вершина и стороны, а также уметь измерять и записывать градусную меру. Понимание прямого и развёрнутого углов помогает объяснить, почему смежные углы дают в сумме 180°. Эти знания служат основой для рассуждений о положении лучей и прямых.
Свойства смежных и вертикальных углов пригодятся, когда нужно найти неизвестные углы при пересечении прямых или доказать равенство углов. Позже эти правила будут полезны при изучении параллельных прямых: там также сравнивают углы, образованные прямыми и секущей. Умение сначала распознать расположение углов помогает выбрать верный способ решения.
Как понять, что два угла являются смежными?
У них должны быть общая вершина и общая сторона. Две оставшиеся стороны должны быть противоположными лучами, то есть лежать на одной прямой и быть направленными в разные стороны.
Почему сумма смежных углов равна 180°?
Вместе смежные углы образуют развёрнутый угол. Его стороны — противоположные лучи, лежащие на одной прямой, а градусная мера развёрнутого угла равна 180°.
Как отличить вертикальные углы от смежных?
Смежные углы имеют общую сторону, а их другие стороны образуют прямую. Вертикальные углы находятся напротив друг друга, и стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Почему вертикальные углы равны?
Каждый из двух вертикальных углов смежен с одним и тем же углом. Оба вместе с ним дают 180°, поэтому их градусные меры одинаковы.
Как найти все углы, если известен один угол при пересечении двух прямых?
Противоположный ему вертикальный угол равен известному. Каждый из двух соседних углов смежен с известным, поэтому его меру находят вычитанием из 180°.
§ 4. Смежные и вертикальные углы
