§ 3. Луч. Угол. Измерение углов

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, которая начинается в заданной точке и продолжается бесконечно в одном направлении. Его обозначают двумя заглавными буквами, например OA. Первая буква показывает начало луча, поэтому запись помогает понять, откуда и куда он направлен.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Это понятие нужно, чтобы описывать раскрытие между направлениями и сравнивать его с другими углами.

Градусная мера угла — число, которое показывает величину угла и выражается в градусах. Её записывают с символом °, например 68°. По градусной мере можно точно сравнить углы и определить, к какому виду относится каждый из них.

Транспортир — прибор для измерения и построения углов. На нём есть центр, нулевая отметка и шкала с делениями в градусах. Благодаря этому прибору угол можно не только оценить на глаз, но и выразить числом или начертить заданной величины.

Как это устроено

Представь два луча, выходящих из одной точки. Общая точка задаёт начало обоих направлений, а лучи ограничивают область плоскости между собой — это угол. Если менять направление одного луча, меняется раскрытие угла; длина лучей на него не влияет, потому что важны именно направления сторон.

Чтобы назвать угол, используют буквы точек на его сторонах и в вершине: например, ∠AOB. Букву вершины ставят посередине, иначе запись может обозначать другой угол или стать непонятной. Если при вершине только один угол, достаточно записать ∠O; иногда вместо букв около угла ставят число, которое служит его условным именем.

Градус — единица измерения угла, подобно тому как сантиметр служит единицей длины. Полный оборот вокруг вершины возвращает луч в исходное положение и составляет 360°, поэтому полный угол равен 360°. Половина такого оборота образует развёрнутый угол 180°, а четверть — прямой угол 90°.

Для измерения сначала положи транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной. Одну сторону угла совмести с нулевой отметкой: тогда именно эта сторона будет началом отсчёта. Посмотри, где вторая сторона пересекает шкалу, и прочитай число на той шкале, которая начинается с нуля у совмещённой стороны.

Чтобы построить угол заданной меры, отметь вершину и проведи первый луч. Приложи транспортир центром к вершине, совмести нулевую отметку с лучом, поставь точку у нужного числа градусов и проведи через неё второй луч. Проверь построение повторным измерением: центр и ноль должны быть совмещены правильно, а результат — совпасть с заданной мерой.

Виды углов по их градусной мере

Сначала найди в таблице границы градусной меры, а затем сравни с ними измеренный угол. Прямой угол в 90° удобно использовать как ориентир для распознавания острых и тупых углов.

Разбор задач

Задача 1. Из точки O проведены лучи OA и OB. Назовите вершину и стороны угла AOB.

1. Найдём общую точку лучей OA и OB: это O.
2. Общее начало двух лучей является вершиной угла, значит, вершина — O.
3. Сторонами служат сами лучи, образующие угол: OA и OB.

Ответ: вершина угла AOB — O, стороны — лучи OA и OB.

Задача 2. Стороны угла пересекли шкалу транспортира на отметках 0° и 68°. Найдите градусную меру угла и определите его вид.

1. Отметка 0° задаёт начало отсчёта, а значение у второй стороны показывает раскрытие угла.
2. Значит, градусная мера равна 68°.
3. Число 68 больше 0 и меньше 90, поэтому угол острый.

Ответ: 68°, острый угол.

Задача 3. Луч OC проходит внутри угла AOB. Если ∠AOC = 47°, а ∠COB = 36°, найдите ∠AOB и определите его вид.

1. Луч OC делит исходный угол на две части, поэтому мера всего угла равна сумме мер частей.
2. Складываем: 47° + 36° = 83°.
3. 83° меньше 90°, следовательно, угол AOB острый.

Ответ: ∠AOB = 83°, это острый угол.

Типичные ошибки

Иногда луч называют прямой, потому что обе фигуры изображают линией. Но луч имеет начало и продолжается только в одну сторону, тогда как прямая бесконечна в обе стороны. Проверь себя: отметь точку начала и укажи направление продолжения; если этого нельзя сделать, речь не о луче.

При записи угла тремя буквами вершину иногда ставят первой или последней. Так легко перепутать стороны и общее начало, ведь средняя буква обозначает вершину. Перед записью найди общую точку двух лучей и поставь её обозначение в середину.

При измерении можно приложить к вершине не центр транспортира или прочитать шкалу, у которой ноль не совпадает с выбранной стороной. В результате число окажется неверным, даже если отметка найдена аккуратно. Перед считыванием проверь совпадение центра и нуля, а затем проследи, от какого нуля начинается нужная шкала.

Больший угол иногда считают углом с более длинными сторонами. Это неверно: стороны можно продолжить, но их раскрытие от этого не изменится. Для проверки сравни градусные меры или направления лучей, а не длину нарисованных отрезков.

Связь с другими темами

Для изучения луча нужны понятия точки и прямой, а также умение обозначать геометрические объекты буквами. Представление о луче строится на прямой: точка задаёт его начало, а выбранное направление — продолжение. Измерение углов пригодится при изучении перпендикулярных прямых, видов треугольников и свойств геометрических фигур. Поэтому умение строить и сравнивать углы станет инструментом для следующих тем.

Что запомнить

• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало сторон угла называется его вершиной.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Полный угол равен 360°, развёрнутый — 180°, прямой — 90°.
• Градусную меру угла измеряют транспортиром.
• Если луч делит угол на части, мера всего угла равна сумме мер этих частей.