"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Отрезок — часть прямой между двумя точками, которые называют его концами. Он помогает задавать расстояние между точками и решать геометрические задачи. Длину отрезка измеряют линейкой или сравнивают с единичным отрезком; записывают её числом вместе с единицей, например 5 см. Отрезки равны, если их длины одинаковы, а если одна точка лежит между концами другого отрезка, его длина складывается из двух частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. Например, если на прямой отметить A и B, отрезком AB будет часть прямой от A до B. Концы тоже входят в отрезок, поэтому он включает и точки A, B, и все точки между ними.
Отрезок записывают двумя заглавными буквами, обозначающими его концы: AB. Можно написать и BA — порядок букв не меняет сам отрезок, потому что его границы остаются теми же. Такое обозначение позволяет точно указать, о какой части прямой идёт речь.
Длина отрезка — положительная величина, показывающая расстояние между его концами. Её можно обозначать теми же буквами, что и отрезок, например AB, если из записи понятно, что говорится о длине. Длину записывают числом и единицей измерения: сантиметрами (см), миллиметрами (мм), метрами (м) и другими единицами.
Равные отрезки — отрезки, длины которых одинаковы. Проверить равенство можно измерением или непосредственным сравнением, например наложив один отрезок на другой. Это понятие помогает сравнивать отрезки, даже если на чертеже они расположены по-разному.
Чтобы получить отрезок, отмечают на прямой две различные точки и рассматривают часть прямой между ними вместе с самими точками. Точки становятся концами, потому что именно они ограничивают эту часть прямой с двух сторон. Если убрать концы, останутся только внутренние точки, а полученная фигура уже не будет отрезком. Поэтому при изображении отрезка обе граничные точки обязательно принадлежат ему.
Длину измеряют, сравнивая отрезок с выбранной единицей — единичным отрезком. Линейка уже размечена равными делениями, поэтому достаточно совместить её нулевую отметку с одним концом и посмотреть, у какой отметки находится другой конец. Если вместо сантиметров измерять миллиметрами, числовое значение изменится: например, 3 см — это 30 мм. Однако положение отрезка на листе не влияет на его длину: поворот или перемещение не меняют расстояние между концами.
Два отрезка называют равными не из-за того, что они одинаково нарисованы, а потому, что у них одинаковая длина. Один может быть вертикальным, другой — наклонным, а их концы могут находиться в разных местах чертежа. Измерение или наложение помогает проверить, совпадают ли длины. Значит, для равенства важна величина отрезка, а не его расположение.
Если точка C лежит между A и B, отрезки AC и CB составляют отрезок AB без промежутков и наложений. Поэтому длина всего AB равна сумме длин его частей: AB = AC + CB. Условие о расположении точки здесь необходимо: только тогда обе части вместе точно покрывают весь отрезок. Это правило позволяет находить неизвестную часть, если известны весь отрезок и другая часть.
Число в записи длины показывает, сколько выбранных единиц помещается в отрезке, поэтому при смене единицы меняется числовое значение. Один сантиметр содержит десять миллиметров, следовательно, 4 см = 40 мм. Физический отрезок при этом не становится ни длиннее, ни короче: изменяется лишь способ выразить его длину. Перед сравнением или вычислением длины приводят к одинаковым единицам.
| Понятие или ситуация | Обозначение | Основное свойство |
|---|---|---|
| Отрезок с концами A и B | AB или BA | Включает концы и все точки между ними |
| Длина отрезка AB | AB | Положительная величина с единицей измерения |
| Равные отрезки | AB = CD | Имеют одинаковые длины |
| Точка C между A и B | AB = AC + CB | Длина целого равна сумме длин частей |
Сначала найдите в таблице нужное понятие или расположение точек, затем посмотрите его обозначение. Столбец с основным свойством подскажет, какое правило применить при решении задачи. Для сравнения длин проверьте, что они выражены в одинаковых единицах.
Задача. Измерьте длину отрезка AB по рисунку линейкой и запишите результат с единицей измерения. Само значение зависит от того, где на шкале оказались концы, поэтому важно правильно приложить линейку. Результат измерения нужно записать не только числом, но и единицей.
Ответ: длина равна показанию у второго конца; например, если это 6 см, то AB = 6 см. Если линейка начинается не с нулевой отметки, длину находят как разность показаний у концов. Так измеряется именно расстояние между концами, а не положение отрезка на шкале.
Задача. Даны отрезки AB = 5 см и CD = 50 мм. Определите, равны ли они. Сравнивать записи 5 и 50 напрямую нельзя: числа относятся к разным единицам. Сначала нужно выразить обе длины одинаково.
Ответ: отрезки AB и CD равны. Можно было перевести 50 мм в сантиметры и получить 5 см — итог сравнения был бы тем же. Выбор единицы удобства не меняет равенство отрезков.
Задача. Точка C лежит между A и B. Известно, что AB = 13 см, AC = 8 см. Найдите CB. Так как C находится внутри отрезка AB, две части AC и CB вместе составляют весь отрезок. Значит, можно применить правило сложения длин.
Ответ: CB = 5 см. Проверка: 8 см + 5 см = 13 см, что совпадает с длиной AB. Такая проверка подтверждает, что найденная часть подходит.
Ошибка — считать, что отрезок состоит только из внутренних точек и не включает концы. Такое представление возникает, если мысленно выделять лишь промежуток между отметками. Но концы ограничивают отрезок и сами входят в него. Проверьте себя: при перечислении точек отрезка назовите и A, и B.
Ошибка — сравнивать числа, записанные в разных единицах, например 5 и 50, и делать вывод, что длины не равны. Причина в том, что забывают: 5 здесь может означать сантиметры, а 50 — миллиметры. Переведите обе величины в одну единицу: 5 см = 50 мм. Если после перевода числа совпали, длины равны.
Ошибка — начинать измерение с отметки линейки, отличной от нуля, и считать показание у второго конца длиной отрезка. Показание в таком случае включает ещё и расстояние от нуля до первого конца. Чтобы проверить результат, запишите отметки у обоих концов и вычтите меньшую из большей. Надёжнее совместить конец отрезка с нулём, если шкала это позволяет.
Ошибка — записать AB = AC + CB, не проверив положение точки C. Равенство верно, когда C лежит между A и B, поскольку тогда AC и CB составляют весь отрезок. Иногда буквы в записи принимают за достаточное условие и не смотрят на чертёж или текст. Перед применением правила убедитесь, что точка действительно находится между концами, а затем проверьте сумму частей.
Для работы с отрезками нужно знать, что такое точка и прямая, уметь обозначать их буквами и читать чертёж. Эти понятия помогают увидеть, какие именно точки ограничивают отрезок и где расположена точка между его концами. Измерение длины связывает геометрию с единицами измерения, которыми пользуются и в других задачах. Длина отрезка выражает расстояние между точками и понадобится при решении геометрических задач о расстояниях.
Входят ли концы в отрезок?
Да, концы входят в отрезок вместе со всеми точками между ними. Они ограничивают отрезок.
Меняется ли отрезок, если поменять местами буквы в его обозначении?
Нет. Обозначения AB и BA относятся к одному и тому же отрезку с концами A и B.
Почему длину отрезка записывают вместе с единицей измерения?
Число показывает, сколько единиц укладывается в отрезке, а единица задаёт размер такой мерки. Например, 5 см и 5 мм — разные длины.
Как сравнить длины, если одна дана в сантиметрах, а другая в миллиметрах?
Сначала выразите обе длины в одинаковых единицах. Например, 5 см = 50 мм, поэтому 5 см и 50 мм равны.
Когда можно складывать длины двух отрезков, чтобы получить длину третьего?
Если точка C лежит между точками A и B, то AB = AC + CB. Тогда два отрезка AC и CB составляют весь отрезок AB.
§ 2. Отрезок и его длина
