"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Точка и прямая — простейшие объекты геометрии, с которых начинается изучение фигур и их расположения. Точку изображают маленькой отметкой, а прямую — линией, уходящей в обе стороны без конца. Их обозначают латинскими буквами, а положение точки относительно прямой записывают специальными символами. Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Эти понятия понадобятся при изучении отрезков, лучей, углов и при решении задач на построение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точка — основной объект геометрии, не имеющий размеров. На рисунке её обычно отмечают маленькой точкой и обозначают заглавной латинской буквой: A, B, O. Такое обозначение помогает точно назвать место, о котором говорится в задаче.
Прямая — линия без ширины и толщины, бесконечная в обе стороны. На чертеже её показывают частью линии, но мысленно продолжают за края рисунка. Прямую обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней, например AB.
Говорят, что точка принадлежит прямой, если она лежит на этой прямой. Запись A ∈ a читают «точка A принадлежит прямой a». Если точка не лежит на прямой, пишут A ∉ a и читают «A не принадлежит a».
Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие одну общую точку. Если прямые a и b пересекаются в точке O, то O называют точкой их пересечения и записывают a ∩ b = O. Это обозначение указывает, где именно встречаются прямые.
Точку и прямую считают основными, неопределяемыми понятиями: их не объясняют через другие геометрические понятия, иначе пришлось бы продолжать такие объяснения бесконечно. Вместо строгого определения используют наглядные представления: точка похожа на отметку на бумаге, а прямая — на ровную линию. Эти образы помогают понять смысл, но рисунок не передаёт свойства буквально: у нарисованной отметки есть размер, а у линии — ширина. Поэтому геометрические свойства задаются словами и правилами.
Чтобы построить прямую через две различные точки, приложи линейку так, чтобы её край проходил через обе отметки, и проведи линию. Через эти точки нельзя провести другую прямую: две прямые, проходящие через одни и те же две точки, имели бы две общие точки. По свойству прямой через две различные точки проходит только одна прямая, значит, линии совпадают. Это свойство позволяет задавать прямую двумя точками и отличать её от множества возможных линий через одну точку.
Прямая бесконечна, потому что у неё нет начальной или конечной точки; края листа ограничивают только рисунок. Продолжая линию в обе стороны мысленно, мы всегда можем представить её продолжение. На прямой располагается бесконечно много точек: между любыми двумя точками можно отметить ещё одну, а затем повторять это снова. Поэтому конечный чертёж показывает лишь небольшой участок прямой.
Для каждой точки на рисунке проверяют, совпадает ли её отметка с линией. Если совпадает, точка принадлежит прямой; если находится в стороне — не принадлежит. Две прямые пересекаются, когда имеют общую точку, а если общей точки нет, они не пересекаются. Две различные прямые не могут иметь две общие точки, иначе через эти две точки проходили бы сразу две прямые.
Чертёж переводят в запись, сначала называя объекты, а потом фиксируя их отношения. Например, если A отмечена на прямой a, а B расположена вне неё, записывают A ∈ a и B ∉ a. Если прямые a и b имеют общую точку O, пишут a ∩ b = O. При чтении рисунка важно смотреть именно на положение отметки относительно линии, а не на то, как близко они нарисованы.
| Объект или отношение | Обозначение | Основное свойство | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Точка | Заглавная латинская буква | Не имеет размеров | A |
| Прямая | Строчная буква или две точки | Бесконечна в обе стороны | a, AB |
| Точка принадлежит прямой | ∈ | Точка лежит на прямой | A ∈ a |
| Точка не принадлежит прямой | ∉ | Точка не лежит на прямой | B ∉ a |
| Пересечение двух прямых | ∩ | Прямые имеют одну общую точку | a ∩ b = O |
Сначала найди в таблице нужный объект или отношение, затем сверь его обозначение и свойство. Символы ∈ и ∉ описывают положение точки относительно прямой, а запись с ∩ — общую точку двух прямых. Пример помогает проверить, правильно ли ты прочитал обозначение.
Задача 1. На рисунке отмечены точки A, B и C. Определите, какие из них лежат на прямой a, и запишите это с помощью символов. Поскольку положение точек задаётся рисунком, сначала проверяем, какие отметки находятся непосредственно на линии, а какие — в стороне. Без самого рисунка нельзя заранее назвать конкретные точки, поэтому решение записываем по результатам проверки.
Ответ: запиши ∈ рядом с каждой точкой, лежащей на a, и ∉ рядом с каждой точкой вне a; конкретные записи зависят от рисунка.
Задача 2. Проведите прямую через точки M и N. Сколько различных прямых можно провести через эти точки? Обозначьте построенную прямую двумя способами. Предполагается, что M и N — различные точки. Нужно использовать свойство единственности прямой и оба правила её обозначения.
Ответ: одна прямая; её обозначения — a и MN. Название строчной буквой можно выбрать произвольно, если оно не занято на чертеже.
Задача 3. Прямые a и b пересекаются в точке O. Точка P лежит на прямой a, но не лежит на b. Запишите все отношения принадлежности и назовите общую точку прямых. Из условия уже известно, какие объекты связаны, поэтому остаётся перевести каждое утверждение в символы. Не забудь записать отношения для обеих точек.
Ответ: O ∈ a, O ∈ b, P ∈ a, P ∉ b; общая точка — O, запись пересечения: a ∩ b = O.
Точку иногда обозначают строчной буквой, а прямую — заглавной. Так происходит из-за смешения правил: для точек используют заглавные латинские буквы, для прямых — строчные или названия по двум точкам. Проверь себя: A обычно обозначает точку, а a — прямую.
Некоторые считают, что через две точки можно провести несколько прямых, представляя разные наклоны. Но если точки различны и обе должны лежать на прямой, её положение уже задано. Для проверки вспомни свойство единственности: через две различные точки проходит ровно одна прямая.
Можно перепутать символы ∈ и ∉, потому что они похожи. Первый означает, что точка лежит на прямой, второй — что не лежит; проверяй знак по чертежу и проговаривай запись словами. Например, A ∉ a означает, что A находится вне прямой a.
Нарисованную прямую порой принимают за отрезок с концами. Это происходит потому, что лист и линия на нём имеют границы, хотя сама прямая продолжается бесконечно. Проверь себя: мысленно продли её в обе стороны и не называй края рисунка концами прямой.
Перед изучением темы полезно уметь пользоваться линейкой, различать отметку-точку и линию, а также читать простые обозначения. Понятия точки и прямой понадобятся при изучении отрезков, лучей, углов и взаимного расположения фигур. На них опираются построения и доказательства геометрических утверждений. Позже они помогут понимать координаты и положение объектов на плоскости.
Почему точку нельзя определить через её размер?
У точки нет длины, ширины и других размеров, поэтому указать её размер невозможно. В геометрии её принимают за основное понятие и поясняют наглядно: это отметка, показывающая точное место.
Чем обозначение прямой двумя точками отличается от обозначения строчной буквой?
Строчная буква даёт прямой короткое имя, например a. Если на прямой выбраны две точки A и B, её можно обозначить AB; это подчёркивает, какие точки на ней лежат. Оба обозначения указывают на одну и ту же прямую.
Можно ли провести прямую через одну точку?
Да, через одну точку можно провести не одну, а бесконечно много прямых. Они будут проходить через эту точку в разных направлениях.
Почему через две точки проходит только одна прямая?
Две различные точки однозначно задают направление и положение прямой. Если бы через них проходили две прямые, они имели бы две общие точки, а значит, совпадали бы, а не были различными.
Могут ли две различные прямые иметь две общие точки?
Нет. Если две прямые имеют две общие точки, то через эти точки проходят обе прямые. Но через две различные точки проходит только одна прямая, поэтому такие прямые совпадают.
§ 1. Точки и прямые
