§ 1. Точки и прямые

Определения и обозначения

Точка — основная геометрическая фигура, не имеющая размеров. Её обозначают прописной латинской буквой: A, B, C. Такая буква помогает назвать точку и отличить её от других точек на чертеже.

Прямая — основная геометрическая фигура, у которой нет ни начала, ни конца. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя прописными буквами точек на ней, например AB. Эти обозначения позволяют кратко говорить о прямой и указывать, какие точки на ней расположены.

Принадлежность точки прямой показывает, лежит ли точка на данной прямой. Если точка A лежит на прямой a, записывают A ∈ a; если не лежит, пишут A ∉ a. Знаки помогают точно передавать положение точки, не полагаясь только на рисунок.

Коллинеарные точки — точки, которые лежат на одной прямой. Если общей прямой для точек нет, их называют неколлинеарными. Эти понятия нужны, чтобы описывать взаимное расположение точек и отличать точки на одной линии от точек, расположенных в разных местах плоскости.

Как это устроено

Точку и прямую называют исходными, или неопределяемыми, понятиями: их свойства объясняют через другие понятия, но любое такое объяснение пришлось бы строить на ещё более простых понятиях. Чтобы не начинать цепочку определений бесконечно, геометрия принимает точку и прямую как основу. При этом геометрические объекты идеальны: настоящая отметка на бумаге имеет размер, а начерченная линия — толщину, но точка и прямая в геометрии лишены этих особенностей.

Через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Если бы через пару точек можно было провести две разные прямые, у них оказалось бы два общих положения, что противоречит основному свойству прямой. Поэтому две точки задают прямую однозначно: например, через M и N проходит прямая MN. На чертеже её часть можно продлить в обе стороны, но изображение всё равно останется конечным.

Чтобы определить по чертежу, принадлежит ли точка прямой, сравнивают положение отметки точки с линией, изображающей прямую. Если отметка расположена на линии, записывают принадлежность, например B ∈ a; если в стороне от неё — непринадлежность, B ∉ a. Сам рисунок может быть неточным, поэтому в задаче нужно учитывать заданные условия и обозначения, а не только зрительное впечатление.

Прямая продолжается бесконечно, поэтому на ней можно расположить бесконечно много точек. Между любыми двумя точками этой прямой найдётся ещё одна точка, а затем можно найти точки и между каждой новой парой. Значит, точки прямой не образуют конечный ряд с последней точкой между двумя выбранными точками. Это свойство помогает понимать прямую как непрерывную линию, а не как набор отдельных отметок.

Если на одной прямой выбраны три различные точки, одна из них обязательно расположена между двумя другими. Например, при порядке A, B, C точка B находится между A и C; если порядок другой, изменится и точка, которую называют средней. Слова «между A и C» относятся к расположению на прямой, а не к названиям точек. По одному рисунку нельзя заключать, какая точка между другими, если условие этого не задаёт.

Точки и прямые: обозначения и основные свойства

В таблице собраны обозначения и правила, которые удобно применять при чтении чертежей. Сначала найди объект или отношение, затем сверь его запись и свойство. Обозначения ∈ и ∉ особенно полезны, когда нужно коротко указать положение точки.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A, B и C и проведены прямые a и b. Нужно определить, какие точки принадлежат каждой прямой, и записать это символами. Так как конкретное положение точек не задано словами, рассмотрим пример чтения чертежа: A и B лежат на a, B и C лежат на b. Точка B здесь принадлежит обеим прямым, а A и C — только одной из них.

1. Для прямой a проверяем каждую отметку: A и B расположены на линии, поэтому A ∈ a и B ∈ a.
2. Точка C находится вне a, значит, C ∉ a.
3. Для прямой b точки B и C лежат на линии, поэтому B ∈ b и C ∈ b; точка A не лежит на ней, значит, A ∉ b.

Ответ: A ∈ a, B ∈ a, C ∉ a; A ∉ b, B ∈ b, C ∈ b. В конкретной задаче записи зависят от того, как именно точки расположены на рисунке.

Задача 2. Провести прямую через точки M и N и обозначить её двумя способами. При построении важно помнить, что через две различные точки можно провести только одну прямую. Поэтому не нужно чертить несколько линий и выбирать одну из них по виду.

1. Отметь точки M и N на плоскости и приложи линейку так, чтобы её край прошёл через обе точки.
2. Проведи линию через M и N, продолжая её в обе стороны за пределы точек: прямая не заканчивается в M и N.
3. Назови полученную прямую строчной буквой, например a, и двумя точками на ней — MN.

Ответ: это прямая a, или прямая MN. Оба обозначения относятся к одной и той же прямой, проходящей через M и N.

Задача 3. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Нужно записать утверждения о принадлежности точек и их расположении. Обозначим эту прямую через a; в таком условии все три точки лежат именно на ней, а порядок точек уже известен.

1. Так как прямая a проходит через A, B и C, запиши A ∈ a, B ∈ a и C ∈ a.
2. Из условия о расположении запиши, что B находится между A и C.
3. Поскольку A, B и C лежат на общей прямой, назови их коллинеарными.

Ответ: A ∈ a, B ∈ a, C ∈ a; точки A, B и C коллинеарны; B находится между A и C. Утверждение, что между A и C находится другая точка, из этого условия не следует.

Типичные ошибки

Точку иногда обозначают строчной буквой, а прямую — прописной. Это происходит потому, что в обычной речи не всегда различают заглавные и строчные буквы, но в геометрии правила важны. Проверь себя: точка — A, прямая — a; если обозначение выбрано иначе, перепиши его правильно.

Некоторые чертят две разные прямые через одну и ту же пару точек. Такую ошибку допускают, забывая единственность прямой через две различные точки. Для проверки найди общие точки: если обе прямые проходят через одну пару точек, они должны совпадать, а не быть разными.

Знак ∈ могут поставить вместо ∉ или наоборот, когда положение точки на рисунке рассматривают невнимательно. Перед записью спроси себя, лежит ли отметка именно на линии, а затем прочитай символ вслух: «принадлежит» или «не принадлежит». Если точка вне прямой, используй ∉; если на прямой — ∈.

Прямую путают с конечным фрагментом линии или считают, что чертёж сам по себе точно доказывает свойство. Причина в том, что на листе невозможно показать бесконечную прямую, а рисунок может быть сделан приблизительно. Помни: отрезок имеет концы, а прямая продолжается бесконечно; проверяй утверждения по условию и свойствам, а не только по виду чертежа.

Связь с другими темами

Для начала достаточно понимать, что геометрические фигуры располагаются на плоскости, а чертёж показывает их условное изображение. Полезно уметь находить точки и линии на простейшем рисунке и различать прописные и строчные буквы. Эти знания помогают читать обозначения и не путать сам геометрический объект с его рисунком.

Точки и прямые понадобятся при изучении отрезков и лучей: они помогают описать части прямой и их границы. Понятия принадлежности и расположения точек также используются при разборе пересекающихся и параллельных прямых, построениях и доказательствах. Чем точнее читаешь чертёж и записываешь отношения, тем легче обосновать геометрическое решение.

Что запомнить

• Точка и прямая — основные понятия геометрии.
• Точки обозначают прописными латинскими буквами, прямые — строчными.
• Через любые две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямую можно обозначить одной строчной буквой или двумя точками, лежащими на ней.
• Точка может принадлежать прямой или не принадлежать ей.
• Три точки могут лежать на одной прямой или не лежать на одной прямой.
• Между любыми двумя точками прямой есть бесконечно много других точек.