"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Отрезок — часть прямой, у которой есть начало и конец: эти точки называют концами отрезка. Его длина показывает, сколько единичных отрезков в нём содержится, и помогает сравнивать отрезки и находить расстояния. Если один конец отрезка разделён точкой на две части, длина всего отрезка равна сумме длин этих частей. Это правило позволяет вычислять неизвестную длину, когда известны целый отрезок и одна из его частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Между концами тоже находятся точки, поэтому отрезок не сводится только к двум отметкам. Это понятие помогает описывать ограниченные части прямых и соединять точки.
Длина отрезка — положительная величина, показывающая, сколько единичных отрезков в нём содержится. Единичный отрезок — выбранный отрезок, длина которого принята за единицу, например 1 см. Длина позволяет измерять отрезок и выражать результат числом с единицей измерения.
Равные отрезки — отрезки, имеющие одинаковую длину. Они могут быть расположены в разных местах или направлены по-разному. Это определение нужно, чтобы сравнивать отрезки по измеряемому свойству, а не по их виду на чертеже.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Так можно выразить числом, насколько далеко точки расположены друг от друга. Расстояние всегда неотрицательно, а у двух разных точек оно положительно.
Отрезок называют по его концам: отрезок с концами A и B обозначают AB. Можно написать и BA, потому что оба обозначения указывают на те же две точки и ту же часть прямой. Порядок букв не задаёт направление движения и не меняет геометрический объект. Это отличает отрезок от обозначений, где порядок точек может иметь специальный смысл.
Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единичный отрезок, например отрезок длиной 1 см. Затем сравнивают с ним измеряемый отрезок: выясняют, сколько таких единиц в нём укладывается. Если целое число единичных отрезков не помещается точно, используют более мелкие единицы, например миллиметры. Выбор единицы важен: одна и та же длина может быть записана как 5 см или 50 мм.
Длина положительна, потому что она выражает размер отрезка, а у отрезка есть протяжённость. Нулевой длины соответствовала бы точка, а не отрезок с двумя разными концами. Сравнивать отрезки удобно именно по длинам: если длины равны, равны и сами отрезки, даже если на рисунке они не совпадают. Поэтому положение и наклон отрезка не влияют на результат сравнения.
Если точка C лежит между A и B, она делит отрезок AB на части AC и CB. Чтобы пройти от A до B через C, нужно пройти сначала AC, затем CB, поэтому длина всего пути складывается из длин обеих частей. Это записывают так: AB = AC + CB. Условие «C лежит между A и B» существенно: именно оно гарантирует, что части составляют весь отрезок и не накладываются друг на друга.
Правило сложения помогает находить неизвестную длину. Если известны длины частей, их складывают и получают длину целого; если известны целое и одна часть, из целого вычитают известную часть. Например, при AB = 13 см и AC = 8 см получаем CB = 13 − 8 = 5 см. Проверка обратным действием подтверждает результат: 8 + 5 = 13.
| Понятие или ситуация | Что важно знать | Обозначение или соотношение |
|---|---|---|
| Отрезок с концами A и B | Ограничен двумя концами и включает точки между ними | AB или BA |
| Длина отрезка AB | Положительная величина, измеренная в выбранных единицах | Например, 5 см |
| Равные отрезки | Имеют одинаковую длину, независимо от расположения | AB = CD |
| Точка C лежит между A и B | Целый отрезок состоит из частей AC и CB | AB = AC + CB |
| Нахождение неизвестной длины | Для части вычитают известную часть из целого | CB = AB − AC |
Сначала найдите в таблице нужную ситуацию, затем прочитайте условие и соответствующую запись. Обозначения показывают, как перейти от описания к вычислению. В задачах проверьте, какие длины известны и какая величина требуется.
На прямой отмечены точки A и B. Назовите отрезок, концами которого они являются, и запишите его обозначение. Здесь не требуется измерять длину: нужно определить геометрический объект по его концам. Две точки задают один отрезок независимо от того, в каком порядке мы называем их буквы.
Ответ: отрезок AB, обозначение AB или BA.
Отрезки AB и CD равны. Длина AB равна 5 см. Найдите длину CD. По условию отрезки равны, значит, у них одинаковые длины. Поэтому достаточно перенести известное значение длины AB на отрезок CD.
Ответ: 5 см.
Точка C лежит между A и B. Известно, что AB = 13 см, AC = 8 см. Найдите CB. Поскольку C находится между концами, отрезок AB состоит из частей AC и CB. Сначала составим равенство для целого, а затем выразим неизвестную часть.
Ответ: CB = 5 см.
Считать, что отрезок состоит только из двух конечных точек, — ошибка: в его состав входят и все точки между концами. Такое представление возникает, если воспринимать рисунок как две отдельные отметки. Проверьте себя: назовите точки, лежащие между концами, — они тоже принадлежат отрезку.
Иногда считают, что равные отрезки обязаны совпадать на чертеже. Их длины могут быть одинаковыми, даже если отрезки расположены в разных местах или направлены по-разному. Ошибку предотвращает сравнение измеренных длин, а не рисунков.
Не смешивайте отрезок и его длину: AB обозначает геометрический объект, а число с единицей, например 5 см, — его длину. В задаче равенство отрезков и равенство их длин связаны, но это разные формулировки. Перед записью проверьте, сравниваете ли вы объекты или числовые величины.
Если C лежит между A и B, нельзя записывать AB = AC − CB: целое складывается из частей. Вычитание используют, когда требуется найти часть по известному целому и другой части. Проверка сложением покажет, верно ли найденное значение: сумма частей должна дать AB.
Для изучения отрезков нужно уметь отличать точку от прямой и обозначать точки заглавными латинскими буквами. Также важно понимать выражение «точка лежит между двумя точками»: оно показывает, на какие части разделён отрезок. Если забыть это условие, нельзя уверенно применить правило сложения длин.
Сложение и вычитание длин пригодятся при нахождении расстояний между точками и вычислении периметров фигур. Периметр складывается из длин сторон, а стороны часто требуется находить по частям. Эти умения помогают решать задачи с геометрическими фигурами и их элементами.
Чем отрезок отличается от прямой?
Прямая бесконечна и не имеет концов. Отрезок ограничен двумя точками, поэтому у него есть начало и конец.
Как правильно обозначить отрезок?
Отрезок обозначают двумя заглавными латинскими буквами — названиями его концов: AB. Порядок букв не важен: AB и BA обозначают один и тот же отрезок.
Могут ли равные отрезки располагаться по-разному?
Да. Равенство отрезков означает, что их длины одинаковы, а не то, что они совпадают на чертеже. Поэтому их можно нарисовать в разных местах и направлениях.
Что означает длина отрезка?
Длина отрезка — положительная величина, которая показывает, сколько единичных отрезков в нём содержится. Например, длина 5 см означает, что отрезок в пять раз длиннее отрезка длиной 1 см.
Как найти часть отрезка, если известны длина целого и другой части?
Если точка делит отрезок на две части, длина целого равна сумме длин частей. Чтобы найти неизвестную часть, вычтите известную часть из длины целого.
§ 2. Отрезок и его длина
