§ 3. Луч. Угол. Измерение углов

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, состоящая из точки, называемой началом луча, и всех точек прямой по одну сторону от неё. Чтобы обозначить луч, используют две буквы: первой пишут букву его начала, второй — букву любой точки на луче, например луч OA. Такой порядок помогает понять, откуда начинается луч и в каком направлении он идёт.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общая точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Это определение позволяет выделить угол на чертеже: нужно найти одну общую начальную точку и две исходящие из неё стороны.

Угол можно обозначить одной буквой, поставленной у вершины, или тремя буквами, например ∠AOB. При обозначении тремя буквами вершина всегда стоит посередине, поэтому в записи ∠AOB это точка O. Одной буквы достаточно, только если у этой вершины не нарисовано несколько углов; иначе три буквы помогают указать нужную пару сторон.

Градусная мера угла — число градусов, показывающее его величину; после числа ставят знак °, например 68°. Измеряют угол транспортиром, прикладывая его к вершине и сторонам угла. Градусная мера нужна, чтобы точно сравнивать углы и определять их вид.

Как это устроено

Если на прямой отметить точку, она разделит прямую на две части: каждая часть вместе с этой точкой образует луч. Оба луча начинаются в отмеченной точке, но продолжаются в противоположных направлениях. Поэтому для задания луча указывают начало и точку, которая показывает направление вдоль прямой. Одна буква без указания направления не позволила бы понять, какую из двух частей прямой имеют в виду.

Чтобы получить угол, достаточно провести из одной точки два луча. Их общее начало становится вершиной, а сами лучи образуют стороны угла. На чертеже вершину находят по месту, откуда выходят обе стороны, а не по любой точке, лежащей на линии. Стороной считается весь луч, поэтому её можно обозначать точкой, лежащей на этом луче.

Буква у вершины удобна, когда в чертеже она соответствует только одному углу. Но если из одной точки выходят несколько лучей, там образуются разные углы, и одной буквы недостаточно. Тогда записывают три буквы: сначала точку на одной стороне, затем вершину и потом точку на другой стороне. Например, ∠AOB и ∠BOC имеют общую вершину O, но обозначают углы между разными парами сторон.

Транспортир позволяет сопоставить стороны угла с делениями шкалы. Его центр — отметку, обычно расположенную у основания, — совмещают с вершиной угла, иначе измерение будет смещено. Нулевую отметку ставят на одну сторону, чтобы отсчёт начинался именно от неё. Затем смотрят, на каком делении проходит вторая сторона, и выбирают шкалу, начинающуюся с того же нуля; иначе можно прочитать дополнительное, неверное значение.

По величине углы делят на острые, прямые, тупые и развёрнутые. Сравнение с 90° показывает, острый угол меньше прямого или тупой больше него, а значение 90° обозначает прямой угол. Если мера больше 90°, но меньше 180°, угол тупой; при 180° стороны направлены в противоположные стороны и образуют развёрнутый угол. Такая классификация помогает назвать вид угла после измерения или сравнения с прямым.

Виды углов по их градусной мере

Чтобы определить вид угла, сначала установите его градусную меру или сравните его с прямым и развёрнутым углами. Затем найдите подходящую строку таблицы по диапазону значений. Границы важны: например, угол ровно 90° — прямой, а не острый или тупой.

Разбор задач

Обозначение луча

На одной прямой отмечены O, A и B, причём точки A и B лежат по одну сторону от O. Требуется записать обозначение луча с началом O. В условии уже указана его начальная точка, поэтому первым делом нужно перенести её букву на первое место в записи. Буква второй точки задаст направление луча.

1. Находим начало луча: это точка O.
2. Выбираем точку на луче, например A. Точку B тоже можно выбрать, так как она лежит на том же луче.
3. Ставим букву начала первой, а выбранную точку — второй: получаем луч OA или луч OB.

Ответ: луч OA (также можно записать луч OB). Важно не переставлять буквы местами: запись должна начинаться с обозначения точки O. Обе записи верны, поскольку A и B лежат на одном луче с началом O.

Определение вида угла по мере

Угол AOB имеет градусную меру 68°. Нужно определить его вид. Для этого не требуется строить угол или измерять его повторно: достаточно сравнить данное число с границами видов углов. Острый угол больше 0° и меньше 90°.

1. Записываем известную меру: 68°.
2. Сравниваем её с 90°: число 68 меньше 90 и больше 0.
3. Выбираем вид угла, который соответствует этому диапазону.

Ответ: угол AOB острый. Проверка проста: 68° не достигает прямого угла, равного 90°. Значит, угол меньше прямого и относится к острым.

Измерение угла транспортиром

На чертеже дан угол ABC, который нужно измерить и назвать острым, прямым или тупым. Его вершина — точка B, потому что она стоит в середине обозначения, а стороны — лучи BA и BC. Прежде чем читать деления, нужно правильно расположить транспортир: ошибка при совмещении даст неверную меру и, возможно, неверный вид угла.

1. Положите центр транспортира на вершину B.
2. Совместите нулевую отметку с одной стороной, например BA. Убедитесь, что сторона проходит через отметку 0°.
3. Посмотрите, где вторая сторона BC пересекает шкалу. Выберите шкалу, которая начинается с совмещённого нуля, и прочитайте число градусов.
4. Сравните полученную меру с 90°: меньше 90° — угол острый, ровно 90° — прямой, больше 90° и меньше 180° — тупой.

Ответ записывают после измерения, подставив найденное значение и соответствующий вид угла. Например, если по шкале получено 112°, угол тупой, поскольку 90° < 112° < 180°. Без самого чертежа конкретную меру назвать нельзя, но последовательность действий подходит для любого изображённого угла.

Типичные ошибки

Ошибка: обозначить луч буквами в неправильном порядке, например поставить точку на луче перед его началом. Так делают, когда воспринимают две буквы как равноправные. Проверьте запись: первая буква должна называть начало, а вторая — точку, показывающую направление.

Ошибка: назвать вершиной угла любую точку на его чертеже или принять за неё сторону. Вершина — только общая начальная точка двух лучей, поэтому остальные точки на сторонах не подходят. Для проверки найдите место, откуда выходят оба луча: именно там находится вершина.

Ошибка: в обозначении из трёх букв поставить вершину не посередине или не уточнить, какой угол имеется в виду при общей вершине. Это случается, когда не проверяют порядок букв или считают, что одной буквы у вершины всегда достаточно. Проверьте, что средняя буква обозначает вершину, а крайние — точки на нужных сторонах; при нескольких углах выбирайте стороны явно.

Ошибка: приложить центр транспортира не к вершине или считать деления не от той шкалы. Причина — невнимательное совмещение отметок: даже небольшое смещение влияет на результат, а две шкалы могут привести к разным числам. Перед чтением убедитесь, что центр стоит на вершине, ноль совпадает со стороной, и начинайте отсчёт именно от этого нуля.

Связь с другими темами

Для работы с лучами и углами нужно знать, что такое точка, прямая и отрезок, а также уметь определять расположение точек на прямой. Эти понятия помогают увидеть, как точка делит прямую и где находятся начало и направление луча. Позже лучи и углы понадобятся при изучении смежных и вертикальных углов. Они также используются в задачах на геометрические построения, где важно точно проводить стороны и находить вершины.

Что запомнить

• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении по прямой.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общая точка лучей — вершина угла, лучи — его стороны.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Градусную меру угла измеряют транспортиром и записывают со знаком °.
• Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90° и меньше 180°, развёрнутый равен 180°.