11. Смежные и вертикальные углы

Определения и обозначения

Противоположные лучи — это лучи с общей начальной точкой, лежащие на одной прямой и направленные в разные стороны. Например, лучи OA и OB противоположны, если точки A, O и B лежат на одной прямой, а O находится между A и B. Это понятие помогает проверить, образуют ли стороны угла прямую линию.

Смежные углы — два угла с общей вершиной и одной общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Например, если углы AOC и COB имеют сторону OC, а OA и OB — противоположные лучи, то эти углы смежные. По этому определению можно не только узнать такие углы на чертеже, но и применить их общее свойство.

Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. При пересечении прямых угол, расположенный напротив другого, образует с ним вертикальную пару. Это определение позволяет находить углы, которые равны, даже если у них нет общей стороны.

Как это устроено

Представь развернутый угол AOB, у которого стороны OA и OB — противоположные лучи. Если из вершины O провести луч OC внутрь этого угла, он разделит его на два угла AOC и COB. У этих углов общая вершина O и сторона OC, а стороны OA и OB направлены в разные стороны, поэтому углы смежные. Их внутренние области не перекрываются: луч OC служит границей между частями развернутого угла.

Смежные углы вместе заполняют весь развернутый угол: один занимает часть с одной стороны от общей стороны, другой — оставшуюся часть. Развернутый угол равен 180°, поэтому, если обозначить величины смежных углов α и β, получим α + β = 180°. Это объясняет, почему для нахождения одного смежного угла из 180° вычитают величину другого.

При пересечении двух прямых возникают вертикальные углы, расположенные напротив друг друга. Обозначим один из них α, противоположный ему — β, а соседний с ними угол — γ. Углы α и γ смежные, поэтому α + γ = 180°; углы β и γ тоже смежные, поэтому β + γ = 180°. Из этих равенств следует α = β: вертикальные углы равны, потому что оба дополняют один и тот же угол до 180°.

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла вокруг точки пересечения. Углы напротив друг друга дают две пары вертикальных углов. Каждая из четырёх пар соседних углов смежная: у соседей есть общая сторона, а две другие стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Поэтому здесь всего две пары вертикальных и четыре пары смежных углов.

Угол удобно обозначать тремя буквами, ставя букву вершины посередине: ∠AOC имеет вершину O и стороны OA и OC. На рисунке сначала найди общую вершину, затем проследи стороны углов. Для смежной пары проверь наличие общей стороны и противоположных лучей среди двух остальных сторон; для вертикальной — что стороны одного угла продолжают стороны другого. Одного лишь положения рядом или напротив недостаточно, если не проверены стороны.

Сравнение смежных и вертикальных углов

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала сравни расположение и общие элементы, затем проверь связь сторон. Это не даст принять любую пару соседних углов за смежную. После определения пары выбери нужное свойство: сумму 180° или равенство величин.

Разбор задач

Задача 1. Один из смежных углов равен 65°. Найди второй угол. Поскольку углы смежные, вместе они составляют развернутый угол. Значит, их сумма равна 180°.

1. Обозначим неизвестный угол x. По свойству смежных углов получаем 65° + x = 180°.
2. Вычтем 65° из 180°: x = 180° − 65° = 115°. Проверим: 65° + 115° = 180°.

Ответ: 115°.

Задача 2. При пересечении двух прямых один из углов равен 118°. Найди остальные три угла. Сначала найдем угол, расположенный напротив известного, а затем два соседних угла. Так мы используем оба свойства: равенство вертикальных углов и сумму смежных.

1. Вертикальный данному угол равен 118°. Это первая неизвестная величина.
2. Каждый соседний угол смежен с углом 118°, поэтому равен 180° − 118° = 62°. Таких соседних углов два, и оба равны 62°.
3. Проверим: противоположные углы равны, а пары соседних дают 118° + 62° = 180°.

Ответ: 118°, 62° и 62°.

Задача 3. Два смежных угла относятся как 2:7. Найди их величины. Отношение показывает, что первый угол состоит из двух одинаковых частей, а второй — из семи таких частей. Сначала найдём величину одной части.

1. Обозначим общую часть через x. Тогда углы равны 2x и 7x, а по свойству смежных углов 2x + 7x = 180°.
2. Сложим подобные слагаемые: 9x = 180°, откуда x = 20°. Значит, углы равны 2 · 20° = 40° и 7 · 20° = 140°.
3. Проверим результат: 40° + 140° = 180°, а отношение 40:140 сокращается до 2:7.

Ответ: 40° и 140°.

Типичные ошибки

Ошибка — считать смежными любые два угла с общей стороной. Общая сторона и вершина ещё не достаточны: две остальные стороны должны быть противоположными лучами. Проверь, лежат ли они на одной прямой и направлены ли в разные стороны.

Иногда вертикальные углы считают смежными и складывают до 180°. Так происходит, потому что на рисунке они связаны с соседними углами. Проверь стороны: вертикальные углы лежат напротив и равны, а 180° дают два соседних смежных угла.

Неверно приравнивать величины смежных углов: их сумма равна 180°, но сами они могут быть разными. Равенство получится только в частном случае, когда каждый угол равен 90°. Для проверки сложи найденные величины и убедись, что их сумма равна 180°.

Можно ошибиться, выбирая пары только по словам рядом или напротив. На чертеже важны не расстояние и внешний вид, а общие вершины и направления сторон. Проследи каждый луч и проверь определение: это надёжнее, чем судить только по расположению.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны, луч и развернутый угол. Тогда можно верно определять положение сторон и понимать, откуда берётся 180°. Свойства смежных и вертикальных углов пригодятся в задачах о пересечении прямых и при доказательстве равенства углов. Позже они помогут разбирать параллельные прямые и углы, образованные секущей — прямой, пересекающей две другие прямые.

Что запомнить

• Противоположные лучи лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Вертикальные углы равны.
• У смежных углов одна общая сторона, а две другие стороны — противоположные лучи.
• У вертикальных углов стороны попарно являются продолжениями друг друга.
• При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.