§ 8. Первый и второй признаки равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, у которых соответственно равны все стороны и углы. Слово «соответственно» означает, что элементы занимают одинаковое положение: вершине A одного треугольника соответствует вершина D другого, стороне AB — сторона DE. Такое соответствие нужно установить, чтобы правильно сравнивать фигуры и записывать выводы.

Первый признак равенства треугольников: если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники равны. Например, AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D означают равенство треугольников ABC и DEF. Признак позволяет не доказывать отдельно равенство третьей стороны и двух углов.

Второй признак равенства треугольников: если сторона одного треугольника равна стороне другого, а два угла, прилежащие к этой стороне, соответственно равны, то треугольники равны. Для стороны BC прилежащими будут углы B и C, потому что каждый из них имеет эту сторону своей стороной. Этот признак удобен, когда в условии даны углы, а не две стороны.

Как это устроено

У треугольника есть три стороны и три угла, но для доказательства равенства не всегда требуется сравнивать все шесть элементов. Некоторые элементы однозначно задают форму и размер треугольника: остальные уже не могут измениться независимо от них. Поэтому признаки дают короткий способ доказательства, заменяя громоздкое сравнение всех сторон и углов.

Если известны две стороны и угол между ними, сначала находят вершины, в которых заключены эти стороны. Например, стороны AB и AC имеют общую вершину A, значит, угол между ними — ∠A. Если им соответствуют DE и DF, общей вершиной будет D, поэтому A соответствует D, B — E, а C — F; после этого применяется первый признак.

В первом признаке нужен именно угол между данными сторонами, потому что он показывает, как стороны соединены в треугольнике. Другой угол может быть равен, но он не фиксирует положение двух известных сторон относительно друг друга. Поэтому набор «две стороны и угол, не заключённый между ними» сам по себе не является условием первого признака.

При втором признаке сначала находят сторону, которая дана в обоих треугольниках. Затем проверяют, что каждый из двух известных углов имеет эту сторону одной из своих сторон: у BC это углы B и C. Если сторона и оба прилежащих к ней угла соответственно равны, вершины и форма треугольников определяются однозначно.

После применения признака треугольники считаются равными как целые фигуры, а не только по указанным элементам. Значит, равны и все остальные соответствующие стороны и углы. Например, из равенства ABC и DEF следует не только AB = DE, но также BC = EF, AC = DF, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F.

Первый и второй признаки равенства треугольников

Пользуясь таблицей, сначала определите, какие элементы известны в условии. Затем проверьте не только их равенство, но и взаимное расположение: это помогает выбрать правильный признак.

После выбора признака установите соответствующие вершины и запишите равенство треугольников в правильном порядке. Такой порядок показывает, какие стороны и углы можно сравнивать дальше.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, AC = DF, ∠A = ∠D. Нужно доказать равенство треугольников. Угол A заключён между сторонами AB и AC, а угол D — между DE и DF.

1. Сопоставляем общие вершины данных сторон: A соответствует D.
2. Из AB = DE получаем соответствие B и E, а из AC = DF — соответствие C и F.
3. Имеем две соответственно равные стороны и равные углы между ними.
4. По первому признаку треугольники ABC и DEF равны.

Ответ: △ABC = △DEF; следовательно, BC = EF, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F.

Задача 2

В треугольниках ABC и DEF даны BC = EF, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F. Требуется доказать равенство треугольников и найти ∠A, если ∠D = 52°.

1. Сторона BC соответствует стороне EF, а прилежащие к ним углы B и C соответствуют E и F.
2. По второму признаку △ABC = △DEF, поэтому вершине A соответствует вершина D.
3. Соответствующие углы равны, значит, ∠A = ∠D = 52°.

Ответ: △ABC = △DEF, ∠A = 52°.

Задача 3

Диагональ AC делит четырёхугольник ABCD на треугольники ABC и ACD. Известно, что AB = CD и ∠BAC = ∠DCA. Нужно доказать равенство треугольников и получить BCA = CAD.

1. Сторона AC является общей для треугольников ABC и ACD, поэтому AC = CA.
2. Стороны AB и AC образуют угол BAC, а стороны CD и CA — угол DCA; эти углы равны по условию.
3. По первому признаку △ABC = △CDA: AB соответствует CD, AC — CA, а A соответствует C.
4. Соответствующему углу BCA отвечает угол CAD, поэтому ∠BCA = ∠CAD.

Ответ: △ABC = △CDA и ∠BCA = ∠CAD.

Типичные ошибки

Две стороны и не заключённый между ними угол. Иногда такой набор принимают за первый признак, потому что видят две равные стороны и угол. Ошибка исчезает, если проверить, имеют ли данные стороны общую вершину с данным углом.

Неправильное применение второго признака. Два угла должны прилегать именно к известной стороне, а не просто быть любыми углами треугольника. Проведите мысленно или запишите стороны каждого угла и убедитесь, что нужная сторона входит в оба угла.

Неверное соответствие вершин. Если записать вершины в случайном порядке, равенство сторон и углов окажется перепутанным. Проверьте запись по каждой паре: первая сторона должна соответствовать первой, вторая — второй, а угол между ними — углу между соответствующими сторонами.

Равенство одного элемента. Одна равная сторона или один равный угол ещё не доказывают равенство треугольников. Для проверки перечислите полный набор данных одного из признаков и только затем делайте вывод.

Связь с другими темами

До изучения признаков понадобятся знания о видах углов и треугольников, обозначении вершин, сторон и углов, а также о равенстве геометрических фигур. Без этого трудно установить соответствие элементов.

Признаки помогают доказывать равенство отрезков и углов в задачах на медианы, биссектрисы, высоты и параллельные прямые. Часто достаточно разделить фигуру на два треугольника и сравнить их.

Тема служит основой для последующих признаков равенства треугольников и доказательства свойств равнобедренного треугольника. Умение правильно сопоставлять вершины пригодится во многих геометрических доказательствах.

Что запомнить

• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Первый признак: две стороны и угол между ними.
• Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
• Сначала нужно правильно установить соответствие вершин.
• После доказательства равенства треугольников можно переносить равенство на любые соответствующие элементы.
• При первом признаке угол должен быть заключён между данными сторонами.
• При втором признаке данные углы должны прилегать к данной стороне.