"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами. Сторону, отличную от них, называют основанием, а два угла у основания всегда равны. Особенно полезно свойство биссектрисы угла между равными сторонами: она одновременно делит основание пополам и перпендикулярна ему. Эти свойства помогают находить неизвестные углы и стороны, доказывать равенство треугольников и распознавать равнобедренные треугольники по их углам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Например, если AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный. Это определение помогает сразу выделить особые стороны и использовать связанные с ними свойства.
Боковые стороны — две равные стороны равнобедренного треугольника. В записи AB = AC боковыми являются AB и AC, а их общая вершина A — вершина при угле между ними. По обозначениям сторон можно определить, где находится этот угол и какие линии будут связаны с основанием.
Основание треугольника — сторона, отличная от равных боковых сторон. Если AB = AC, то основание — BC. Оно нужно, чтобы правильно назвать углы при основании и понять, к какой стороне проведены медиана или высота.
Угол при основании прилежит к основанию и одной боковой стороне; таких углов два. Угол при вершине расположен между равными боковыми сторонами, напротив основания. Например, при AB = AC углы B и C — при основании, а угол A — при вершине; это различие важно для применения свойств.
Представьте треугольник ABC, у которого AB = AC. По определению это равнобедренный треугольник, AB и AC — боковые стороны, а BC — основание. На чертеже равные стороны обычно отмечают одинаковыми штрихами, чтобы не перепутать их с основанием. Тогда угол A находится между равными сторонами, а углы B и C прилежат к основанию.
Углы B и C равны, потому что треугольник можно мысленно отразить так, чтобы боковые стороны AB и AC поменялись местами. При этом треугольник совместится сам с собой: точка A останется на месте, а B и C поменяются местами. Значит, угол B перейдёт в угол C, и величины этих углов одинаковы. Это свойство позволяет находить второй угол при основании, если известен первый.
Проведём из вершины A биссектрису AD к основанию BC. Биссектриса — луч или отрезок, который делит угол на две равные части, поэтому ∠BAD = ∠DAC. Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними: AB = AC, AD — общая сторона, а углы при A равны. Следовательно, соответствующие стороны и углы этих треугольников тоже равны.
Из равенства треугольников следует, что BD = DC, поэтому AD делит основание пополам и является медианой. Кроме того, ∠ADB и ∠ADC равны; вместе они составляют развёрнутый угол, то есть 180°. Значит, каждый из них прямой, AD перпендикулярна BC и является высотой. Так биссектриса угла при вершине одновременно оказывается и медианой, и высотой к основанию.
Верно и обратное утверждение: если два угла треугольника равны, то равны и стороны, лежащие напротив них. Например, если ∠B = ∠C, то напротив них находятся стороны AC и AB, следовательно, AC = AB. В треугольнике появляются две равные стороны, поэтому он равнобедренный. Важно сопоставлять угол именно со стороной напротив него, а не с прилегающими сторонами.
| Элемент или линия | Что известно | Следствие |
|---|---|---|
| Боковые стороны и основание | Две стороны равны | Третья сторона — основание |
| Углы при основании | Они прилежат к основанию | Углы равны |
| Биссектриса угла при вершине | Делит угол при вершине пополам | Это также медиана и высота к основанию |
| Медиана, проведённая к основанию | Выходит из вершины между боковыми сторонами | Также является биссектрисой и высотой |
| Высота, проведённая к основанию | Перпендикулярна основанию | Также является биссектрисой и медианой |
Сначала определите равные стороны и основание, затем найдите, какой элемент или линия даны в условии. Таблица показывает, какие свойства можно применить к линии, проведённой из вершины между боковыми сторонами к основанию. Не переносите эти выводы на произвольную линию или на линию, проведённую к другой стороне.
В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. Угол B равен 47°. Найдите угол C. По равенству сторон узнаём, что треугольник равнобедренный, а BC — его основание. Значит, B и C — углы при основании, которые равны.
Ответ: 47°.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, основание — 12 см. Нужно найти периметр и проверить, существует ли такой треугольник. По определению обе боковые стороны равны, поэтому каждая из них составляет 10 см. Периметр — сумма длин всех сторон.
Ответ: стороны равны 10 см, 10 см и 12 см; периметр равен 32 см. Такой треугольник существует, потому что сумма двух меньших сторон больше третьей.
В треугольнике ABC AB = AC, а AD — биссектриса угла A. Докажите, что AD — медиана и высота, если ∠A = 38°. Сравним треугольники ABD и ACD: равны боковые стороны AB и AC, сторона AD у них общая, а углы BAD и DAC равны, поскольку AD — биссектриса. Этого достаточно для равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: AD — медиана и высота; ∠BAD = 19°, ∠DAC = 19°.
Ошибка: считать основанием любую выбранную сторону. Её допускают, когда не проверяют, какие стороны равны, хотя основанием называется именно третья сторона, отличная от равных боковых. Сначала сравните длины сторон или посмотрите на отметки равенства; например, при AB = AC основание — BC.
Ошибка: путать угол при вершине с углом при основании. Так бывает, если ориентироваться только на положение угла на рисунке, не установив равные стороны. Найдите боковые стороны: угол между ними будет углом при вершине, а два угла у основания — углами при основании.
Ошибка: утверждать, что любая медиана или высота равнобедренного треугольника обладает сразу тремя свойствами. Свойство относится к линии, проведённой из вершины между боковыми сторонами к основанию, а не к произвольной линии. Проверьте, откуда и к какой стороне она проведена; только для линии к основанию верно совпадение медианы, высоты и биссектрисы.
Ошибка: при равенстве углов заключать, что равны прилежащие к ним стороны. Путают связь угла со стороной, потому что не ищут сторону напротив угла. Отметьте противолежащие стороны: именно они равны, если равны углы, лежащие напротив них.
Перед изучением этой темы нужно знать, что такое треугольник, его стороны и углы, а также признаки равенства треугольников. Свойства равнобедренного треугольника помогают доказывать равенство треугольников и находить неизвестные углы и стороны. Они также связывают три важные линии — медиану, высоту и биссектрису — и пригодятся при дальнейшем изучении этих понятий.
Как определить основание равнобедренного треугольника?
Сначала найдите две равные стороны: это боковые стороны. Третья сторона, которая им не равна, называется основанием.
Почему углы при основании равны?
Если мысленно поменять местами равные боковые стороны, треугольник совместится сам с собой. При таком совмещении один угол при основании переходит в другой, поэтому углы равны.
Какие свойства имеет биссектриса угла при вершине?
Она делит угол при вершине пополам, а весь треугольник — на два равных треугольника. Поэтому эта биссектриса является также медианой к основанию и высотой, проведённой к нему.
Верно ли, что медиана к основанию всегда является высотой?
Да, если речь о медиане равнобедренного треугольника, проведённой к основанию из вершины между боковыми сторонами. Она совпадает с биссектрисой угла при этой вершине и потому является высотой.
Как по равенству углов доказать, что треугольник равнобедренный?
Нужно указать, что равные углы лежат напротив каких сторон. Против равных углов находятся равные стороны, значит, в треугольнике есть две равные стороны и он равнобедренный.
§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства
