§10. Признаки равнобедренного треугольника

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Например, если AB = AC, то в треугольнике ABC боковые стороны — AB и AC, а основание — BC. Такое обозначение сразу показывает, какие стороны сравнивают и какие углы при основании нужно рассматривать.

Признак равнобедренного треугольника по углам при основании формулируется так: если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный. Равными оказываются стороны, лежащие напротив этих углов. Признак нужен, когда на чертеже или в условии даны углы, а равенство сторон требуется доказать. Чтобы применить его, важно убедиться, что оба угла принадлежат одному и тому же треугольнику.

Признак по стороне и углам можно сформулировать точнее: если углы, прилежащие к одной стороне, равны, то эта сторона является основанием равнобедренного треугольника, а две другие стороны равны. Слово «прилежащие» означает, что сторона образует каждую из этих двух углов. Это уточнение помогает не перепутать основание с боковыми сторонами и удобно, когда в задаче уже названа сторона, около которой расположены равные углы.

Как это устроено

Углы треугольника связаны между собой: сумма их градусных мер равна 180°. Если два угла равны, третий определяется однозначно, но для признака важнее другая связь: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, заметив равные углы, мы можем не измерять стороны, а сразу установить их равенство. Именно эта связь превращает сведения об углах в вывод о форме треугольника.

Докажем признак. Пусть в треугольнике ABC равны углы A и C. Против угла A лежит сторона BC, а против угла C — сторона AB. По свойству треугольника против равных углов лежат равные стороны, значит, BC = AB. В треугольнике ABC две стороны равны, следовательно, он равнобедренный; его основание — AC, сторона, не входящая в пару равных.

Если равны углы, прилежащие к стороне AC, то это углы A и C. Напротив угла A находится BC, а напротив угла C — AB, поэтому AB = BC. Следовательно, боковыми сторонами будут AB и BC, а AC — основанием. Так можно определить основание даже тогда, когда в условии не сказано, какая сторона является третьей: достаточно найти общую сторону двух равных углов.

У равнобедренного треугольника есть свойство: углы при основании равны. Признак позволяет рассуждать в обратную сторону: если обнаружены равные углы, то противолежащие им стороны равны и становятся боковыми. Это не одно и то же утверждение, хотя они используют связь углов и сторон. Различай направление рассуждения: равные стороны дают равные углы, а равные углы позволяют доказать равенство сторон.

В доказательстве по признаку действуй последовательно. Сначала установи, в каком именно треугольнике рассматриваются углы, и обоснуй их равенство, например, используя сумму углов треугольника. Затем найди сторону напротив каждого угла. Если эти стороны равны, получаем равнобедренный треугольник; сторону, которая не вошла в пару, называем основанием. Такая последовательность помогает не перепутать вершины и стороны.

Признаки равнобедренного треугольника

Сначала найди в условии данные углы, затем проследи, какие стороны лежат напротив них. Если дана общая сторона двух углов, она будет основанием, а равными окажутся две оставшиеся стороны. Таблица помогает проверить вывод, но равенство углов всё равно нужно обосновать.

Разбор задач

Условие: в треугольнике ABC углы A и C равны. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и укажите его основание. Здесь уже дано равенство двух углов одного треугольника, поэтому можно применить признак напрямую. Главное — правильно определить стороны, лежащие напротив углов A и C.

1. Запишем данное: ∠A = ∠C в треугольнике ABC. Оба угла относятся к одному треугольнику, значит, условие признака выполнено.

2. Против угла A лежит сторона BC, а против угла C — сторона AB. По признаку равные углы дают равные противолежащие стороны, поэтому BC = AB.

3. В треугольнике ABC равны AB и BC, значит, он равнобедренный. Третья сторона AC является основанием.

Ответ: △ABC равнобедренный, AB = BC, основание — AC.

Условие: в треугольнике ABC углы BAC и ACB равны. Определите, какие стороны равны и какая сторона является основанием. Обозначения углов показывают, что первый угол расположен при вершине A, второй — при вершине C. Оба угла прилежат к стороне AC, поэтому именно она должна оказаться основанием.

1. Запишем равенство: ∠BAC = ∠ACB. Это углы треугольника ABC, прилежащие к одной стороне AC.

2. Напротив угла BAC лежит сторона BC, а напротив угла ACB — сторона AB. Следовательно, по признаку AB = BC.

3. Равные стороны AB и BC — боковые стороны. Сторона AC, общая для двух равных углов, не входит в эту пару и является основанием.

Ответ: AB = BC; основание равнобедренного треугольника — AC.

Условие: точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, ∠BAD = ∠DAC и AB = AC. Докажите, что BD = DC. Равенство углов показывает, что AD делит угол A пополам, а равенство AB и AC задаёт боковые стороны большого треугольника. Для строгого вывода сравним треугольники ABD и ACD.

1. Так как D лежит на BC, лучи BD и CD лежат на одной прямой. В треугольнике ABC равенство AB = AC означает, что углы ABC и ACB равны.

2. Угол ABD совпадает с углом ABC, а угол ACD — с углом ACB, поэтому ∠ABD = ∠ACD. Кроме того, по условию ∠BAD = ∠DAC, а сторона AD общая для треугольников ABD и ACD.

3. В треугольниках ABD и ACD равны сторона AB и AC, сторона AD и заключённые между ними углы BAD и DAC. По первому признаку равенства треугольников эти треугольники равны, поэтому соответствующие стороны BD и DC равны.

Ответ: BD = DC.

Типичные ошибки

Первая ошибка — при равных углах приравнивать стороны, которые их образуют. Так делают, потому что стороны расположены рядом с углом и заметны на чертеже. Но равными являются стороны, лежащие напротив равных углов; проверь себя, проследив, какая сторона не касается вершины угла.

Вторая ошибка — назвать основанием одну из равных сторон. Основание не входит в пару равных боковых сторон, поэтому оно является третьей стороной треугольника. Чтобы проверить ответ, запиши равенство боковых сторон и назови оставшуюся сторону основанием.

Третья ошибка — считать, что равенство любых двух сторон доказывают признаком по углам. Для этого признака нужно сначала указать равные углы одного треугольника и только потом назвать противолежащие им стороны. Если углы не известны, равенство сторон доказывают другим способом, например признаками равенства треугольников.

Четвёртая ошибка — сравнивать углы, которые принадлежат разным треугольникам. На чертеже с дополнительными точками таких углов может быть много, и похожие обозначения сбивают с толку. Перед применением признака выпиши вершины нужного треугольника и проверь, что оба выбранных угла входят именно в него.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°, и помнить свойство: против равных сторон лежат равные углы. Эти знания помогают как доказывать равенство углов, так и переходить от него к равенству сторон. Признаки равнобедренного треугольника пригодятся в задачах на равенство отрезков и углов, а также при изучении равносторонних треугольников. В составных чертежах нужные равенства часто сначала устанавливают с помощью признаков равенства треугольников.

Что запомнить

• Равные углы треугольника лежат против равных сторон.
• Если два угла треугольника равны, треугольник равнобедренный.
• Равными будут стороны, лежащие против равных углов.
• Если углы при одной стороне равны, эта сторона является основанием.
• В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, а основание — третья сторона.
• В доказательстве сначала укажи равные углы и треугольник, которому они принадлежат.