2.6. Признаки равнобедренного треугольника

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Такое название помогает сразу увидеть важную особенность фигуры: в ней есть пара равных сторон. Если равенство сторон не дано, его можно доказать с помощью признака равнобедренного треугольника.

Основание равнобедренного треугольника — сторона, отличная от двух равных сторон, а равные стороны называются боковыми. Например, если AB = AC, то AB и AC — боковые стороны, а BC — основание. Эти названия нужны, чтобы точно описывать части треугольника и не перепутать, какие стороны равны.

Признак равнобедренного треугольника — утверждение: если в треугольнике два угла равны, то противолежащие им стороны равны. Противолежащей называют сторону, которая не образует данный угол и находится напротив него. Признак нужен, чтобы по равенству углов установить равенство сторон и доказать, что треугольник равнобедренный.

Как это устроено

У каждого угла треугольника есть своя противолежащая сторона. Признак связывает именно такие пары: равным углам соответствуют равные стороны. Поэтому, если известны равные углы, можно перейти от них к равенству сторон и распознать равнобедренный треугольник. Речь идёт не о любых сторонах рядом с углами, а о сторонах напротив них.

Чтобы определить боковые стороны, сначала найди, какие стороны лежат напротив равных углов. По признаку эти стороны равны, а значит, именно они становятся боковыми сторонами треугольника. Оставшаяся, третья сторона — основание. Такой порядок помогает не назвать основанием одну из равных сторон.

Достаточно установить равенство одной пары углов одного треугольника. Противолежащие этим углам стороны окажутся равными, а по определению треугольник с двумя равными сторонами является равнобедренным. Другие углы для применения признака искать не требуется. Если равенство углов не дано сразу, его можно сначала получить из условия или вычислить.

Признак можно обосновать, сравнив два треугольника, полученных из исходного построением. Например, проведём биссектрису из вершины между равными углами: она делит этот угол пополам, а две части треугольника имеют общий отрезок и по одной паре равных углов. По сумме углов треугольника третьи углы этих частей тоже равны, поэтому части равны по стороне и двум прилежащим углам. Из их равенства следует равенство соответствующих боковых сторон исходного треугольника.

Признак и свойство равнобедренного треугольника отвечают на разные вопросы. Свойство позволяет начать с равных сторон и заключить, что углы при основании равны. Признак работает наоборот: сначала известны равные углы, а затем выводятся равные противолежащие стороны. Выбирай утверждение по тому, что дано в задаче.

Как установить равнобедренность треугольника

Сначала проверь, что равные углы относятся к одному и тому же треугольнику. Затем найди сторону напротив каждого из них и запиши равенство этих сторон. По полученному равенству сторон назови треугольник равнобедренным.

Разбор задач

В треугольнике ABC углы B и C равны. Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

1. Условие даёт равенство углов одного треугольника: ∠B = ∠C. Значит, можно применить признак равнобедренного треугольника.
2. Сторона, противолежащая углу B, — AC, а сторона, противолежащая углу C, — AB. По признаку AC = AB.
3. В треугольнике ABC есть две равные стороны, поэтому он равнобедренный. Эти стороны являются боковыми, а BC — основанием.

Ответ: треугольник ABC равнобедренный, AC = AB.

В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Докажем, что AC = BC.

1. Чтобы сравнить углы A и C, сначала найдём третий угол. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠C = 180° − 40° − 70° = 70°.
2. Получили ∠B = ∠C = 70°. Теперь применим признак к этим углам одного треугольника.
3. Напротив угла B лежит AC, а напротив угла C — AB. Следовательно, по признаку AC = AB.

Ответ: в условии требуется доказать AC = BC, однако расчёт показывает, что равны углы B и C, а значит, равны AC и AB. Поэтому указанное заключение из данных не следует: например, ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70° дают AB = AC, но не доказывают AC = BC.

Углы A и B треугольника ABC равны 2x + 10° и 3x − 20°, а ∠C = 70°. Найдём x и выясним, равнобедренный ли треугольник.

1. Подставим выражения углов в сумму 180°: (2x + 10°) + (3x − 20°) + 70° = 180°. После упрощения получаем 5x + 60° = 180°, поэтому x = 24.
2. Вычислим углы: ∠A = 2 · 24 + 10 = 58°, ∠B = 3 · 24 − 20 = 52°, ∠C = 70°. Ни одна пара углов не равна.
3. Признак применяют только при равенстве двух углов. Здесь такого равенства нет, поэтому доказать равнобедренность нельзя; полученные углы показывают, что треугольник не равнобедренный.

Ответ: x = 24; углы равны 58°, 52° и 70°, треугольник не является равнобедренным. Обрати внимание: заданные числа не позволяют выполнить требование доказать равнобедренность.

Типичные ошибки

Ошибка: записать равными стороны, прилежащие к равным углам, вместо противоположных. Так происходит, если ориентироваться на близость сторон к углу, а не на их положение. Проверь себя: сторона напротив угла не имеет с ним общей вершины, а соединяет две другие вершины треугольника.

Ошибка: применить признак к равным углам из разных треугольников. Само по себе равенство таких углов ничего не говорит о равенстве сторон одного треугольника. Перед выводом назови треугольник, в котором находятся оба угла, и только затем сопоставляй их стороны.

Ошибка: перепутать признак со свойством и перейти от равных углов к равным сторонам без проверки направления рассуждения. Причина — оба утверждения связывают углы и стороны, но одно говорит «если равны стороны», а другое — «если равны углы». Сверь, что именно дано и какое утверждение разрешает сделать нужный вывод.

Ошибка: назвать основанием одну из равных сторон. Обычно это происходит, когда слово «основание» понимают как нижнюю сторону на рисунке, хотя треугольник можно повернуть. Проверь равенство сторон: основание — третья сторона, не входящая в пару равных боковых сторон.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно знать сумму углов треугольника, обозначения углов и сторон, а также понимать, какая сторона лежит напротив каждого угла. Эти знания помогают сначала найти неизвестный угол, а затем сопоставить углы со сторонами. Признак используют в задачах на доказательство равенства сторон и распознавание равнобедренных треугольников. Связанное с ним свойство работает в обратном направлении: равные стороны дают равные углы при основании.

Что запомнить

• Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
• Равны стороны, противолежащие равным углам.
• Признак позволяет доказать равенство сторон через равенство углов.
• Углы для применения признака должны принадлежать одному треугольнику.
• Не путай признак со свойством равнобедренного треугольника.
• Основание — третья сторона, не входящая в пару равных сторон.