2.5 Третий признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равными называют треугольники, которые при наложении совпадают. Значит, у них одинаковы форма и размер, а соответствующие стороны и углы равны. Слово «соответствующие» указывает на элементы, которые совпали бы друг с другом при наложении. Это понятие нужно, чтобы после доказательства равенства треугольников правильно сравнивать их отдельные элементы.

Соответствующие вершины — это вершины, которые совпадают при наложении двух треугольников; стороны и углы называют соответствующими, если они расположены при таких вершинах. Соответствие устанавливают по условию: например, из AB = DE, BC = EF и AC = DF видно, что вершине A соответствует D, B — E, C — F. Тогда можно записать △ABC и △DEF в таком порядке. Правильное соответствие необходимо, чтобы не приравнять элементы, которые друг другу не отвечают.

Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Например, равенств AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁ достаточно для вывода △ABC = △A₁B₁C₁. Углы в условии этого признака не нужны. Признак позволяет доказать совпадение треугольников, даже если их не удаётся наложить на чертеже.

Как это устроено

Запишем условие признака для △ABC и △A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁. Каждая сторона первого треугольника здесь поставлена в пару с равной стороной второго. Из этих трёх равенств по третьему признаку следует △ABC = △A₁B₁C₁. Вывод верен именно потому, что равны все три пары соответствующих сторон.

Сопоставить стороны правильно нужно до применения признака, иначе даже верные равенства можно неверно прочитать. Например, если AB = DE, BC = EF, AC = DF, то общая вершина AB и BC — B, а общая вершина DE и EF — E; значит, B соответствует E. Аналогично из пар сторон определяется соответствие остальных вершин. Поэтому порядок букв в записи равенства треугольников должен отражать найденное соответствие, а не просто выглядеть удобным.

Представим, что стороны одного треугольника наложили на равные им стороны другого, начиная с одной стороны. Её концы совпадут с концами соответствующей стороны второго треугольника, но вершина третьего угла ещё может оказаться по одну или другую сторону от этой стороны. Однако её расстояния до обоих концов уже заданы двумя оставшимися сторонами. Пересечение окружностей с центрами в концах основания и радиусами этих сторон определяет положение вершины, поэтому треугольники совпадают.

Первый признак требует равенства двух сторон и угла между ними, второй — стороны и двух прилежащих к ней углов. Третий устроен иначе: вместо углов сравниваются все три стороны. Каждый из признаков даёт достаточный набор сведений для доказательства равенства, но условия у них разные. Поэтому третий признак удобен, когда известны длины сторон, а углы не указаны.

Если треугольники равны, они совпадают при наложении, следовательно, совпадают и все их остальные соответствующие элементы. Например, из △ABC = △DEF следует, что ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F, а также равенство соответствующих сторон. Это позволяет находить неизвестные углы и отрезки после доказательства, даже если их равенство не было дано в условии. Сначала нужно установить порядок вершин, иначе вывод о соответствии элементов может оказаться неверным.

Признаки равенства треугольников

Сначала посмотрите, какие элементы даны в задаче, и найдите строку с подходящим набором. Для третьего признака проверьте, что имеются именно три пары равных сторон и они соответствуют друг другу. Затем запишите вывод о равенстве треугольников с вершинами в правильном порядке.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ даны AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁. Докажите, что треугольники равны.

1. Сравним данные стороны попарно: AB соответствует A₁B₁, BC — B₁C₁, AC — A₁C₁.
2. Общие вершины этих пар показывают соответствие A ↔ A₁, B ↔ B₁ и C ↔ C₁.
3. Все три пары соответствующих сторон равны, поэтому применяем третий признак и заключаем, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁ по третьему признаку равенства треугольников. Порядок вершин в записи показывает, какие элементы треугольников соответствуют друг другу.

Задача 2. Два треугольника имеют стороны 5 см, 7 см и 8 см. Докажите их равенство и найдите периметр каждого.

1. У каждого треугольника три стороны соответственно равны: 5 см, 7 см и 8 см. Значит, выполнено условие третьего признака.
2. По третьему признаку треугольники равны. Периметр — сумма длин всех трёх сторон, поэтому складываем данные длины.
3. Вычисляем: 5 + 7 + 8 = 20 см. Поскольку набор сторон одинаков, такой периметр у обоих треугольников.

Ответ: треугольники равны, периметр каждого — 20 см. Сначала признак устанавливает равенство фигур, а вычисление периметра использует длины их сторон.

Задача 3. В треугольниках ABC и DEF известно, что AB = DE, BC = EF и AC = DF. Если ∠A = 42°, найдите угол D и докажите равенство треугольников.

1. Из AB = DE, BC = EF и AC = DF следует соответствие A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Например, AB и AC сходятся в A, а DE и DF — в D.
2. Все три пары соответствующих сторон равны, поэтому △ABC = △DEF по третьему признаку.
3. В равных треугольниках соответствующие углы равны. Угол A соответствует углу D, значит, ∠D = ∠A = 42°.

Ответ: △ABC = △DEF, ∠D = 42°. Здесь порядок соответствия важен: угол A нельзя приравнивать к углу E или F.

Типичные ошибки

Стороны сопоставляют по названию или расположению на рисунке, а не по вершинам, которые они соединяют. Так могут записать неверное соответствие и затем сравнить не те углы или стороны; ошибка возникает, когда чертёж воспринимают как точное доказательство. Проверьте общие вершины равных пар сторон и запишите соответствие вершин до вывода о равенстве.

Иногда считают, что для третьего признака достаточно равенства двух сторон. Две стороны сами по себе не задают нужный набор условий этого признака, поэтому применение его в таком случае необоснованно. Пересчитайте равенства: должны быть указаны три пары соответствующих сторон, а не две.

Третий признак путают с первым и ищут угол между сторонами. Возможно, это происходит потому, что первый признак тоже использует стороны; однако угол между сторонами нужен именно для первого признака, а третий основан на трёх сторонах. Сверьте условие с таблицей: если равны три пары сторон, угол дополнительно требовать не нужно.

После доказательства равенства могут приравнять несоответствующие углы или стороны. Причина — неверный порядок букв в записи треугольников или невнимательное чтение этого порядка. Проверьте, какая вершина стоит на том же месте в обеих записях, и приравнивайте только элементы при соответствующих вершинах.

Связь с другими темами

Чтобы применять признак, нужно понимать, что значит равенство треугольников, и уметь находить соответствующие вершины, стороны и углы. Первый и второй признаки позволяют сравнивать другие наборы данных с тремя сторонами третьего признака. Сам третий признак пригодится в доказательствах равенства отрезков и углов. Он также помогает обосновывать выводы в дальнейших геометрических задачах.

Что запомнить

• Третий признак сравнивает три пары соответствующих сторон.
• Равенство трёх сторон достаточно для равенства треугольников.
• Порядок вершин в записи равенства треугольников задаёт соответствие их элементов.
• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Для третьего признака равенство углов заранее знать не требуется.
• В доказательстве нужно явно указать, какой признак применён.