§11. Третий признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Третий признак равенства треугольников — правило: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Иначе говоря, достаточно сравнить длины сторон, а углы заранее знать не нужно. Признак помогает доказывать равенство фигур в задачах.

Соответствующие стороны — стороны, которые занимают одинаковое положение в двух сопоставляемых треугольниках. Например, если вершине A соответствует вершина D, а B — E, то сторона AB соответствует DE. Это понятие нужно, чтобы не сравнить случайно стороны, соединяющие другие пары вершин.

Равные треугольники — треугольники, которые при наложении полностью совмещаются. Поэтому их соответствующие стороны и углы равны. Обозначение △ABC = △DEF указывает на порядок соответствия вершин: A и D, B и E, C и F.

Как это устроено

Представь, что нужно построить треугольник по трём заданным длинам. Сначала можно провести одну сторону, а затем из её концов провести дуги радиусами, равными двум оставшимся сторонам. Их точка пересечения задаёт третью вершину. Другого треугольника с теми же длинами получить нельзя, если не считать его зеркальное отражение или поворот: такие фигуры всё равно совмещаются наложением.

В формулировке признака ключевое слово — «соответственно». Оно требует, чтобы каждой стороне первого треугольника была поставлена в пару ровно одна сторона второго, соединяющая соответствующие вершины. Если просто собрать три равенства отрезков, не проверив пары, условие признака может оказаться невыполненным. Поэтому сначала устанавливают соответствие, а уже затем делают вывод о равенстве.

Условие доказательства удобно записывать отдельными равенствами, например AB = DE, BC = EF, AC = DF. Эти записи показывают три пары сторон и позволяют проверить, что каждая сторона одного треугольника участвует в сравнении. После этого пишут △ABC = △DEF по третьему признаку равенства треугольников. Такой порядок делает рассуждение понятным и проверяемым.

Чтобы определить соответствие по рисунку, найди вершины, отмеченные одинаковыми буквами в условии, или проследи, какие стороны соединяют уже сопоставленные вершины. Порядок букв в записи треугольника тоже важен: в записи △ABC = △DEF вершины идут парами A—D, B—E, C—F. Не полагайся только на то, как фигуры выглядят на чертеже: рисунок может быть неточным или перевёрнутым.

Равенство треугольников даёт больше, чем равенство трёх сторон из условия. Если △ABC = △DEF и вершины сопоставлены в указанном порядке, то равны углы A и D, B и E, C и F, а также все соответствующие стороны. Это позволяет использовать доказанное равенство как промежуточный шаг, например, чтобы обосновать равенство нужных углов или отрезков.

Признаки равенства треугольников

Сравни условие задачи со столбцом «Какие элементы равны»: он помогает выбрать подходящий признак. Для третьего признака должны быть известны три пары равных сторон, для первых двух — указанные сочетания сторон и углов. Во всех случаях элементы сопоставляют между двумя треугольниками.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, BC = EF и AC = DF. Докажем, что △ABC и △DEF равны. Здесь в условии уже перечислены три пары равных сторон. Проверим, что они сопоставлены последовательно и подходят для третьего признака.

1. По AB = DE сопоставляем стороны AB и DE, значит, вершины A—D и B—E.
2. Равенство BC = EF подтверждает соответствие B—E и C—F. Равенство AC = DF связывает оставшиеся стороны и подтверждает пару A—D, C—F.
3. Все три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого. Следовательно, △ABC = △DEF по третьему признаку.

Ответ: треугольники ABC и DEF равны по третьему признаку.

Задача 2

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём AO = BO, CO = DO и AC = BD. Докажем равенство △AOC и △BOD. Пересечение отрезков само по себе не даёт дополнительного равенства сторон, поэтому используем именно три равенства из условия. Нужно внимательно сопоставить вершины и стороны.

1. Из AO = BO сопоставляем вершины A и B, а общую точку O — с O.
2. Из CO = DO сопоставляем C и D. Значит, стороне OC соответствует OD, а стороне AO — BO; третья пара задана равенством AC = BD.
3. Получены три пары соответствующих равных сторон. Поэтому △AOC = △BOD по третьему признаку.

Ответ: △AOC = △BOD.

Задача 3

Известно, что OA = OB, OC = OD и AC = BD. Докажем, что углы OAC и OBD равны. Сначала нужно получить равенство треугольников, поскольку прямого равенства углов условие не содержит. Затем можно будет использовать соответствие элементов равных треугольников.

1. В треугольниках OAC и OBD стороны OA и OB равны по условию, а стороны OC и OD тоже равны по условию.
2. Третья пара сторон AC и BD равна по условию. Соответствие вершин такое: O—O, A—B, C—D.
3. Значит, △OAC = △OBD по третьему признаку. Углы OAC и OBD занимают соответствующие положения, поэтому они равны.

Ответ: ∠OAC = ∠OBD.

Типичные ошибки

Ошибка: считать достаточными любые три равенства отрезков. Так поступают, когда замечают одинаковые длины, но не проверяют, принадлежат ли отрезки разным треугольникам и соответствуют ли друг другу. Проверь, что в каждой паре есть по одной стороне каждого треугольника и что стороны соединяют соответствующие вершины.

Ошибка: неверно сопоставить вершины и записать равенство несоответствующих сторон. Это часто происходит, если ориентироваться только на положение фигур на рисунке. Сначала используй обозначения и условие, составь пары вершин, а затем проверь стороны по их концам.

Ошибка: применить третий признак, имея только две пары равных сторон. Две известные длины не дают нужного условия, даже если треугольники на чертеже кажутся одинаковыми. Перед выводом пересчитай пары: их должно быть три, и никакое равенство нельзя подменять предположением по рисунку.

Ошибка: после доказательства равенства треугольников утверждать равенство выбранных сторон без указания соответствия. Причина — можно перепутать порядок вершин в записи. Сверь, какие вершины стоят на одинаковых местах в названиях треугольников, и только потом записывай равенство элементов.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужны понятия треугольника, его вершин и сторон, а также умение читать обозначения △ABC. Полезно помнить первый и второй признаки равенства: они позволяют доказывать равенство по другим наборам сторон и углов. Третий признак часто помогает установить равенство углов и отрезков в задачах на треугольники. Он также развивает навык строить доказательство: от известных условий перейти к равенству фигур, а затем — к нужному выводу.

Что запомнить

• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, треугольники равны по третьему признаку.
• Стороны нужно сопоставлять попарно между двумя треугольниками.
• Перед применением признака установи соответствие вершин.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.
• В доказательстве укажи три равенства сторон и назови применённый признак.