"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Теорема — утверждение, истинность которого нужно обосновать. Она помогает получать новые геометрические факты из уже известных определений, аксиом и доказанных теорем. В любой формулировке можно выделить условие — что дано, — и заключение — что требуется доказать. Доказательство состоит из последовательных шагов, каждый из которых имеет основание. Например, равенство вертикальных углов доказывают с помощью свойства смежных углов, а не только по виду чертежа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают доказательством. Иными словами, недостаточно сказать, что утверждение верно: нужно показать, почему оно следует из уже известных фактов. Теоремы позволяют получать новые знания о геометрических фигурах и использовать их в решении задач.
Условие теоремы — сведения, которые считаются данными и перечисляются в её формулировке. Это отправная точка рассуждения: условие помогает понять, какие объекты рассматриваются и какие их свойства известны. Без него нельзя определить, к какой ситуации относится теорема.
Заключение теоремы — утверждение, которое требуется доказать при выполнении условия. Оно показывает, к какому результату должно привести рассуждение. Разделение условия и заключения помогает не перепутать исходные сведения с тем, что ещё нужно установить.
Доказательство теоремы — последовательное обоснование заключения с опорой на определения, аксиомы и ранее доказанные теоремы. Каждый шаг должен быть понятен и вытекать из известного факта. Так можно проверить, действительно ли вывод следует из условия, а не только кажется верным.
Чтобы отличить теорему от определения и аксиомы, нужно выяснить, какую роль играет утверждение. Определение объясняет, что означает термин, например биссектриса, а не устанавливает новый факт о фигуре. Аксиома принимается без доказательства как основа рассуждений, тогда как теорему подтверждают цепочкой доводов. Поэтому вопрос «почему это верно?» помогает заметить, что перед нами теорема и её нужно доказать.
Условие и заключение удобно находить, разделив формулировку на исходные сведения и результат. Условие отвечает на вопрос «что дано?», а заключение — «что требуется доказать?». Например, в словах «если углы вертикальные, то они равны» вертикальность углов известна заранее, а равенство нужно установить. Такое разделение направляет доказательство: искать следует путь от данного свойства к требуемому выводу.
Доказательство строится цепочкой шагов, потому что каждый переход от одной мысли к другой должен иметь причину. Этой причиной может быть условие, определение, аксиома или теорема, доказанная ранее. Если пропустить обоснование, читатель не сможет проверить, откуда взялся вывод. Цепочка помогает обнаружить и ошибку: достаточно найти шаг, который не следует из указанного основания.
Равенство вертикальных углов выводят из свойства смежных: сумма смежных углов равна 180°. Каждый из двух вертикальных углов смежен с одним и тем же углом, поэтому оба вместе с ним составляют 180°. Если от одного и того же числа отнять величины двух углов, получится одинаковый результат, значит, эти углы равны. Так доказательство опирается на уже известное свойство, а не на внешний вид чертежа.
Проверить завершённость доказательства можно, сравнив его итог с заключением теоремы. Заключение должно быть получено из условия через обоснованные шаги, а не просто повторено в конце без доводов. Если оно доказано, результат следует явно сформулировать. Если же цепочка остановилась раньше, нужно найти недостающий переход и объяснить его основание.
| Понятие | Что означает | Нужно ли доказывать | На что опирается |
|---|---|---|---|
| Определение | Вводит смысл геометрического термина | Нет, это пояснение значения термина | Принятая формулировка понятия |
| Аксиома | Исходное утверждение, принимаемое без доказательства | Нет | Принимается как основа рассуждений |
| Теорема | Утверждение, истинность которого устанавливают | Да | Условие, определения, аксиомы и доказанные теоремы |
| Доказательство | Последовательное обоснование теоремы | Само является рассуждением, которое нужно проверить | Условие и известные геометрические утверждения |
Пользуйтесь таблицей, чтобы определить роль утверждения и понять, требуется ли его доказывать. Если перед вами теорема, проверьте, какие основания использованы в доказательстве. Определение и аксиома выполняют разные задачи: первое объясняет термин, вторая служит исходным фактом.
Условие: «Если два угла вертикальные, то они равны». Требуется отделить известное отношение между углами от результата, который из него следует. Чтобы не перепутать части, зададим к формулировке два отдельных вопроса.
Ответ: условие — два угла вертикальные; заключение — эти углы равны. При решении похожих задач сначала выделяйте именно эти две части, а уже потом ищите обоснование.
Условие: две прямые пересекаются, образуя вертикальные углы ∠1 и ∠2. Требуется доказать, что ∠1 = ∠2. У каждого из этих углов есть смежный угол; обозначим смежный с ∠1 через ∠3. При пересечении прямых ∠3 также смежен с ∠2.
Ответ: вертикальные углы равны. Каждый шаг опирается на свойство смежных углов и равенство величин, полученных после вычитания.
Условие: две прямые пересекаются; требуется доказать, что биссектрисы одной пары вертикальных углов лежат на одной прямой. Биссектриса делит угол на два равных угла. Сначала используем уже доказанное равенство вертикальных углов, а затем сравним части, на которые углы делятся биссектрисами.
Ответ: биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. В рассуждении использованы равенство вертикальных углов, определение биссектрисы и свойство смежных углов.
Условие принимают за заключение или наоборот, если читают формулировку целиком, не задавая отдельных вопросов. В результате начинают доказывать то, что уже дано, или используют требуемый результат как готовый факт. Проверьте себя: запишите отдельно ответы на вопросы «что дано?» и «что нужно доказать?», а затем сверьте их с формулировкой.
Теорему иногда считают доказанной, потому что она выглядит очевидной на чертеже. Так происходит, когда доверяют рисунку больше, чем точным рассуждениям; однако изображение может быть выполнено неточно. Проверьте себя: для каждого вывода укажите основание, например свойство или ранее доказанную теорему. Если такого основания нет, одного рисунка недостаточно.
Ссылка на утверждение, которое ещё не доказано и не дано как аксиома, нарушает последовательность доказательства. Ошибку допускают, когда принимают знакомую мысль за уже установленный факт. Проверьте, можно ли обосновать каждый использованный факт условием, определением, аксиомой или доказанной теоремой. Если нет, сначала докажите его или найдите другое основание.
Пропуск промежуточного шага делает ход рассуждения непонятным: заключение будто появляется из условия само собой. Часто автору кажется, что очевидную связь можно не объяснять. Проверьте, сможет ли другой ученик восстановить переход и назвать причину вывода. Если это не получается, добавьте нужное обоснование.
Для работы с теоремами нужно знать геометрические определения и аксиомы: они дают значения терминов и исходные факты для доказательств. Также пригодятся свойства смежных и вертикальных углов, на которых строятся рассуждения в разобранных задачах. Умение доказывать утверждения понадобится при изучении признаков равенства треугольников и свойств геометрических фигур. В новых темах оно помогает обосновывать не только ответ, но и каждый шаг решения.
Чем теорема отличается от аксиомы?
Теорему доказывают, опираясь на известные факты. Аксиому принимают без доказательства как исходное положение.
Как найти условие и заключение теоремы?
Спросите себя: «Что дано?» — это условие. Затем определите, что требуется получить или доказать: это заключение.
Можно ли считать рисунок доказательством?
Нет. Рисунок помогает представить условие, но его вид может быть неточным. Каждый вывод нужно обосновать словами и известными утверждениями.
На какие утверждения можно ссылаться в доказательстве?
На условие задачи, определения, аксиомы и теоремы, которые уже доказаны. Нельзя без объяснения использовать утверждение, истинность которого ещё не установлена.
Как понять, что доказательство закончено?
Проверьте, получено ли именно заключение теоремы и следует ли оно из предыдущих обоснованных шагов. В конце нужно явно сформулировать доказанный вывод.
§12. Теоремы
