§ 12. Теоремы

Определения и обозначения

Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают с помощью рассуждений. В отличие от определения, она сообщает не значение термина, а факт, который нужно обосновать; в отличие от аксиомы, теорема не принимается без доказательства. Это различие помогает понять, какие положения служат отправной точкой, а какие нужно выводить.

Условие теоремы — сведения, которые считаются известными в её формулировке. Например, в словах «если два угла вертикальные» известным дано то, что углы вертикальные. Выделение условия показывает, на какие именно данные можно опираться в доказательстве.

Заключение теоремы — утверждение, которое требуется доказать. В формулировке «если два угла вертикальные, то они равны» заключение — «они равны». Условие и заключение связаны: доказательство должно показать, почему при данных условиях верно именно это утверждение.

Доказательство теоремы — последовательность логических рассуждений, обосновывающих заключение на основании условия и уже известных фактов. Для него используют определения, аксиомы и ранее доказанные теоремы. Это нужно, чтобы убедиться в истинности утверждения не только на одном рисунке, но во всех подходящих случаях.

Как это устроено

Геометрия изучает много утверждений о фигурах, углах и их свойствах. Чтобы на них можно было надёжно опираться, недостаточно заметить закономерность на рисунке: нужно объяснить, почему она выполняется. Для этого и нужны теоремы — доказанные утверждения, из которых можно получать новые выводы и решать задачи.

Теорема опирается на другие знания, но сама требует обоснования. Аксиомы принимают без доказательства, а теоремы выводят из аксиом, определений и уже установленных результатов. Такая разница позволяет строить геометрию последовательно: сначала принимают исходные положения, затем доказывают утверждения и используют их дальше.

Формулировка теоремы обычно устроена как «если…, то…». В части после «если» перечислено условие, то есть то, что известно о фигурах или величинах. В части после «то» записано заключение — требуемый вывод. Такое разделение подсказывает, с чего начать доказательство и к какому результату нужно прийти.

Доказательство должно провести читателя от условия к заключению без пропущенных шагов. Каждый шаг объясняют определением, аксиомой или теоремой, которую уже доказали. Если связь между условием и выводом не показана, утверждение пока не доказано: даже верный ответ нужно обосновать.

Например, вертикальные углы равны, потому что каждый из них вместе с одним и тем же смежным углом составляет развернутый угол, равный 180°. Если из 180° вычесть величину этого общего угла, в обоих случаях останется одно и то же число. Поэтому величины вертикальных углов равны. Здесь использовано свойство смежных углов, а не только вид рисунка.

Если поменять местами условие и заключение теоремы, получится обратное утверждение. Это изменение не сохраняет истинность автоматически: новое условие может оказаться недостаточным для нового вывода. Поэтому обратное утверждение нужно рассматривать как отдельную теорему и доказывать или опровергать самостоятельно.

Из чего состоит теорема и как с ней работать

При разборе сначала перепиши формулировку в виде «если…, то…», затем назови известные сведения и требуемый вывод. После этого ищи факты, которые связывают их. Если составлено обратное утверждение, проверяй его отдельно, не перенося на него доказательство исходной теоремы.

Разбор задач

Задача 1. Найти условие и заключение

Дана формулировка: «Если два угла вертикальные, то они равны». Нужно определить, что здесь известно и что следует доказать. Удобно сначала разделить фразу на части по словам «если» и «то», не смешивая данные с выводом.

1. Часть после «если» — «два угла вертикальные». Это условие, потому что оно сообщается как известный факт.
2. Часть после «то» — «они равны». Это заключение: равенство углов ещё требуется обосновать.
3. Проверяем, что связь сохранена: если углы вертикальные, доказательство должно привести именно к их равенству.

Такое выделение помогает не принять требуемый результат за уже известное данное. Оно также подсказывает цель доказательства: показать равенство этих углов.

Ответ: условие — углы вертикальные; заключение — углы равны.

Задача 2. Доказать равенство вертикальных углов

Пусть две прямые пересекаются и образуют пару вертикальных углов. Требуется доказать, что эти углы равны, используя свойство смежных углов. Сравним их не напрямую по рисунку, а через один и тот же угол, смежный с каждым из них.

1. Обозначим вертикальные углы ∠1 и ∠3, а общий смежный с ними угол — ∠2.
2. По свойству смежных углов ∠1 + ∠2 = 180°, потому что они образуют развернутый угол.
3. По той же причине ∠2 + ∠3 = 180°. Значит, ∠1 = 180° − ∠2 и ∠3 = 180° − ∠2.
4. Оба угла равны одному и тому же числу, поэтому ∠1 = ∠3.

Рассуждение использует свойство смежных углов и показывает равенство для любых пересекающихся прямых. Оно и является доказательством, а рисунок только помогает обозначить углы.

Ответ: вертикальные углы равны.

Задача 3. Проверить обратное утверждение

Для теоремы «если два угла вертикальные, то они равны» составлено утверждение «если два угла равны, то они вертикальные». Нужно выяснить, является ли оно обратным и обязательно ли оно верно. Сначала меняем местами исходные условие и заключение, а затем проверяем полученный вывод.

1. Исходное условие — углы вертикальные, заключение — углы равны.
2. В новом утверждении условием стало равенство углов, а заключением — то, что они вертикальные. Значит, это обратное утверждение.
3. Проверим его на возможном случае: два равных угла могут быть расположены рядом, то есть иметь общую сторону, а не быть вертикальными.
4. Такой пример удовлетворяет условию «углы равны», но не заключению «углы вертикальные». Следовательно, обратное утверждение неверно.

Пример помогает опровергнуть утверждение, если найден подходящий случай, в котором условие выполняется, а вывод — нет. Истинность исходной теоремы не спасает обратную: направление рассуждения изменилось.

Ответ: утверждение обратное, но неверное.

Типичные ошибки

Ошибка — считать условие и заключение одним и тем же. Её допускают, когда читают фразу целиком и не разделяют известные данные и требуемый вывод. Проверь себя: условие отвечает на вопрос «что известно?», а заключение — «что требуется доказать?».

При составлении обратного утверждения иногда меняют только часть формулировки или оставляют прежнее условие на месте. Так получается не обратное утверждение, а другая фраза. Чтобы проверить себя, выпиши условие и заключение исходной теоремы отдельно и переставь их местами целиком.

Ещё одна ошибка — считать обратную теорему истинной, раз верна исходная. Это происходит из-за того, что оба утверждения связывают одни и те же свойства, но направление связи у них разное. Проверь новое утверждение доказательством или попробуй найти пример, где условие выполняется, а заключение нет.

Рисунок или проверка нескольких примеров не являются доказательством. Они помогают представить задачу, но не охватывают все возможные случаи, поэтому создают ложную уверенность. Спроси себя, обоснован ли каждый шаг известным фактом и следует ли из всей цепочки заключение.

Связь с другими темами

Для работы с теоремами нужны определения, аксиомы и свойства углов, в том числе смежных и вертикальных. Умение выделять условие и заключение пригодится при доказательстве равенства треугольников: сначала определяют, что дано, а затем — что требуется установить. Построение логической цепочки будет полезно в задачах на доказательство в следующих разделах геометрии, где выводы опираются на несколько ранее изученных фактов.

Что запомнить

• Теорему доказывают, аксиому принимают без доказательства.
• Условие теоремы — то, что известно.
• Заключение теоремы — то, что требуется доказать.
• Доказательство должно логически обосновывать заключение.
• Обратную теорему получают перестановкой условия и заключения.
• Истинность обратной теоремы проверяют отдельно.