§ 13. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны. Такое обозначение позволяет коротко фиксировать важное условие и использовать его свойства при решении задач.

Если прямая пересекает две другие прямые, её называют секущей. Секущая создаёт углы у каждого пересечения, и их расположение можно сравнивать. Это нужно, чтобы находить углы и проверять, есть ли основания считать две прямые параллельными.

Соответственные углы — это углы, которые при пересечении двух прямых секущей занимают одинаковое положение у разных точек пересечения. Например, оба могут находиться сверху от пересекаемой прямой и справа от секущей. Такое расположение помогает без путаницы выбрать пару углов для применения свойства или признака параллельности.

Односторонние внутренние углы находятся между двумя прямыми и по одну сторону от секущей. Их называют внутренними из-за положения между прямыми, а односторонними — потому что они расположены с одной стороны секущей. Эта пара важна, поскольку при параллельных прямых сумма таких углов равна 180°.

Как это устроено

Две различные прямые на одной плоскости либо пересекаются, либо не имеют общих точек. Во втором случае по определению они параллельны. Совпадающие прямые — не отдельный случай параллельных различных прямых: это одна и та же прямая, и общими у них являются все точки. Поэтому, говоря о двух параллельных прямых, имеют в виду разные прямые, которые нигде не пересекаются.

Если две прямые параллельны и их пересекает секущая, соответственные углы равны. Причина связана с расположением углов: при пересечении образуются углы, которые можно сопоставить через свойства углов и параллельность прямых. Поэтому, зная величину одного соответственного угла, можно сразу найти второй, не измеряя его по чертежу.

Равенство соответственных углов работает и в обратную сторону. Если секущая пересекает две прямые и соответственные углы оказались равны, то эти прямые параллельны. Это утверждение называют признаком параллельности: оно позволяет не просто находить угол, а доказывать, что прямые не пересекутся.

Из равенства соответственных углов можно получить правило для односторонних внутренних. Один из таких внутренних углов вместе с углом, равным ему как соответственный, образует развернутый угол. Развернутый угол равен 180°, значит, сумма односторонних внутренних углов тоже равна 180°. Если такая сумма получена для двух прямых и секущей, по обратному утверждению можно заключить, что прямые параллельны.

Чтобы распознать пары на чертеже, сначала отметь две прямые и секущую, а затем найди область между прямыми. Углы в этой области — внутренние; если они по одну сторону секущей, это односторонние внутренние. Для соответственных сравнивай положение у двух пересечений: углы должны располагаться одинаково, например оба сверху от своей прямой и справа от секущей. После этого используй равенство соответственных углов или сумму односторонних внутренних: условие показывает, можно ли применить признак параллельности.

Углы при пересечении двух прямых секущей

Сначала определи по расположению, какие именно углы даны: соответственные или односторонние внутренние. Второй столбец помогает найти углы, если параллельность уже известна. Третий нужен для обратного вывода: по равенству или сумме доказывают, что прямые параллельны.

Разбор задач

Задача 1

Секущая пересекает две параллельные прямые. Один из соответственных углов равен 68°. Найдите второй. Параллельность уже дана, поэтому искать признак не нужно. Достаточно применить свойство соответственных углов при параллельных прямых.

1. По условию прямые параллельны, а углы соответственные.
2. При параллельных прямых соответственные углы равны.
3. Значит, второй угол равен 68°.

Ответ: 68°.

Задача 2

При пересечении двух прямых секущей односторонние внутренние углы равны 3x и 2x. Найдите x и выясните, параллельны ли прямые. Данных о параллельности сначала нет, поэтому её нельзя считать доказанной. Нужно проверить признак по сумме односторонних внутренних углов.

1. Если прямые параллельны, сумма этих углов равна 180°; для проверки признака составляем уравнение: 3x + 2x = 180°.
2. Складываем подобные слагаемые: 5x = 180°, откуда x = 36.
3. Углы равны 3 · 36° = 108° и 2 · 36° = 72°. Их сумма равна 180°, поэтому по признаку прямые параллельны.

Ответ: x = 36; прямые параллельны.

Задача 3

Секущая пересекает прямые a и b. Один соответственный угол равен 4x + 10°, другой — 7x − 20°. Найдите x и обоснуйте, параллельны ли a и b. Чтобы использовать признак, сначала нужно установить равенство соответственных углов. Приравняем выражения, а затем проверим, что полученное значение подходит.

1. Для соответственных углов записываем равенство: 4x + 10 = 7x − 20.
2. Переносим слагаемые: 30 = 3x, поэтому x = 10.
3. Подставляем значение: 4 · 10 + 10 = 50°, а 7 · 10 − 20 = 50°. Соответственные углы равны, значит, по признаку a ∥ b.

Ответ: x = 10; a ∥ b.

Типичные ошибки

Считать параллельными любые прямые, которые не пересеклись на рисунке, нельзя: рисунок показывает лишь ограниченные части прямых. Так ошибаются, когда принимают вид чертежа за доказательство. Проверь себя: параллельность должна следовать из условия, определения или признака, а не только из внешнего вида.

Не путай соответственные углы с односторонними внутренними. Первые занимают одинаковое положение у двух пересечений, а вторые лежат между прямыми по одну сторону секущей. Ошибка возникает, если смотреть только на величины углов; сначала отметь сами прямые, секущую и положение каждого угла.

Односторонние внутренние углы при параллельных прямых не обязаны быть равны: их сумма равна 180°. Равенство можно по ошибке перенести с соответственных углов. Для проверки сложи величины односторонних внутренних углов: при параллельности результат должен быть 180°.

Не заменяй свойство признаком. Равенство соответственных углов следует из уже известной параллельности, а для доказательства параллельности используют обратное утверждение: равные соответственные углы означают, что прямые параллельны. Перед выводом спроси себя, что дано и что требуется доказать. Так станет ясно, нужно применить свойство или признак.

Связь с другими темами

Перед изучением параллельных прямых нужно уметь различать виды углов и пользоваться их свойствами. Знание углов при пересечении двух прямых помогает распознать соответственные и односторонние внутренние пары. Дальше свойства параллельных прямых и углов при секущей пригодятся при изучении суммы углов треугольника. Они также помогают строить доказательства: связывать условие задачи с нужным геометрическим выводом.

Что запомнить

• Параллельные прямые на плоскости не пересекаются.
• Обозначение параллельности: a ∥ b.
• Секущая пересекает две прямые.
• У параллельных прямых соответственные углы равны.
• Если соответственные углы равны, прямые параллельны.
• У односторонних внутренних углов при параллельных прямых сумма равна 180°.