11. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые в одной плоскости, которые не пересекаются. Например, запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны. Это понятие помогает описывать взаимное расположение прямых и применять к ним правила о возникающих углах.

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Она как бы «разрезает» их и образует несколько углов. Секущая нужна, чтобы сравнивать эти углы и по их свойствам устанавливать, параллельны ли пересечённые прямые.

Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, если оба угла расположены справа от своей прямой и над секущей, они соответственные. Такое название помогает выбрать пару, для которой при параллельных прямых можно проверить равенство.

Накрест лежащие углы расположены между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Слова «между» и «по разные стороны» описывают их положение, а не величину. Найдя такую пару, можно использовать её равенство для параллельных прямых или, наоборот, доказать параллельность.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две прямые, при каждом пересечении образуются четыре угла. Их объединяют в пары по расположению: соответственные стоят одинаково, накрест лежащие находятся внутри между прямыми по разные стороны секущей, а односторонние внутренние — внутри по одну сторону. Углы называют по месту, а не по их размеру: даже равные углы могут принадлежать к разным типам. Поэтому сначала отметь две пересекаемые прямые и секущую, а затем определи положение каждого угла.

Если соответственные углы равны, пересечённые прямые параллельны. Причина в том, что секущая образует с каждой прямой одинаковое положение и одинаковый угол; значит, направления этих прямых совпадают. Две разные прямые с одним направлением в одной плоскости не пересекаются. Это признак параллельности: с его помощью доказывают, что прямые параллельны, а не просто используют уже известное свойство.

Если прямые параллельны, соответственные углы равны. Секущая пересекает обе прямые под одинаковым наклоном, поэтому углы, расположенные в одинаковых местах, имеют одну величину. Это свойство позволяет, зная один угол, найти соответственный ему. При этом сначала важно удостовериться, что параллельность прямых дана или уже доказана.

При параллельных прямых накрест лежащие углы равны, а односторонние внутренние дают в сумме 180°. Накрест лежащий угол равен соответственному углу при другом пересечении, поэтому он равен исходному. Односторонний внутренний угол вместе с соответствующим ему углом образует смежную пару, а смежные углы в сумме равны 180°. Так эти соотношения следуют из равенства соответственных и свойства смежных углов.

Обратные соотношения служат признаками параллельности. Если накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны: один из них равен данному углу как вертикальный, а значит, выполняется признак параллельности. Если односторонние внутренние углы дают 180°, то один из них смежен с углом, равным другому; отсюда равны соответственные углы. Значит, прямые параллельны и в этом случае.

Углы при пересечении параллельных прямых секущей

Пользуйся таблицей в два шага: сначала определи по положению, какая перед тобой пара, затем выбери её соотношение. Равенство углов или сумма 180° верны при условии, что прямые параллельны. Если же нужно доказать параллельность, те же соотношения применяют как признаки.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересечены секущей. Одна пара соответственных углов равна 68°. Определите, параллельны ли прямые. Здесь в условии сказано не только, что углы равны, но и что они соответственные. Именно это позволяет применить признак параллельности.

1. Выделяем указанную пару: это соответственные углы при пересечении двух прямых секущей.
2. Сравниваем их величины: оба угла равны 68°, следовательно, они равны между собой.
3. По признаку равенства соответственных углов заключаем, что прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

Задача 2. Параллельные прямые пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен 112°. Найдите остальные углы. Сначала используем равенство накрест лежащего угла, а затем — соответственных и вертикальных углов; смежные с углом 112° составляют с ним 180°.

1. Накрест лежащий угол равен данному: он тоже равен 112°.
2. Соответственные углы равны, поэтому соответствующие позиции при обоих пересечениях дают ещё углы по 112°. Вертикальные им углы также равны 112°.
3. Каждый смежный с углом 112° равен 180° − 112° = 68°. Вертикальные и соответственные углы с такими позициями тоже равны 68°.

Ответ: из восьми углов четыре равны 112°, а четыре — 68°.

Задача 3. В треугольнике ABC через вершину A проведена прямая, параллельная стороне BC. Выразите углы между этой прямой и сторонами AB и AC через углы треугольника и докажите полученное равенство. Проведённая прямая и сторона BC параллельны, а стороны AB и AC служат секущими.

1. Угол между прямой через A и стороной AB равен углу B: это накрест лежащие углы при секущей AB.
2. Угол между прямой через A и стороной AC равен углу C, поскольку они также накрест лежащие при секущей AC.
3. Эти два угла вместе с углом A образуют развёрнутый угол на прямой через A, поэтому их сумма с углом A равна 180°. Подставляем найденные выражения и получаем A + B + C = 180°.

Ответ: углы между проведённой прямой и сторонами AB и AC равны соответственно углам B и C; сумма углов треугольника равна 180°.

Типичные ошибки

Ошибка — объявлять параллельными любые прямые, которые не пересекаются на видимой части чертежа. Ученик может принять границы рисунка за границы всей плоскости, хотя прямые способны пересечься за ними. Проверяй, дано ли условие параллельности, следует ли оно из определения или доказано по признаку; одного вида чертежа недостаточно.

Ошибка — называть углы соответственными или накрест лежащими по их величине. Например, два равных угла не обязательно являются соответственными: тип пары определяется только положением относительно прямых и секущей. Сначала найди места пересечений и отметь, где находится каждый угол, и лишь затем сравнивай их величины.

Ошибка — путать накрест лежащие углы с односторонними внутренними. Это легко сделать, если смотреть только на то, что обе пары находятся между прямыми. Проверь сторону секущей: у накрест лежащих углов она разная, и углы равны; у односторонних — одинаковая, и их сумма при параллельных прямых равна 180°.

Ошибка — доказывать параллельность свойством параллельных прямых: например, утверждать, что углы равны, потому что прямые параллельны, если параллельность как раз требуется доказать. Так рассуждение получается круговым. Для доказательства используй признак — сначала установи нужное равенство углов или сумму 180°, а затем сделай вывод о параллельности.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать виды углов, свойства смежных и вертикальных углов, а также уметь сравнивать величины углов. Свойство смежных углов помогает объяснить, почему односторонние внутренние углы дают 180°, а равенство вертикальных помогает переходить от одной пары к другой. Если эти правила знакомы, легче понять и доказательства признаков параллельности.

Свойства параллельных прямых пригодятся при доказательстве теоремы о сумме углов треугольника: параллельную прямую проводят через вершину и сравнивают углы. Они также помогают решать задачи на неизвестные углы и геометрические построения. В таких задачах параллельность часто связывает элементы, которые сначала кажутся не связанными.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
• Равенство соответственных углов — признак параллельности прямых.
• При параллельных прямых соответственные углы равны.
• При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
• При параллельных прямых сумма односторонних внутренних углов равна 180°.