3.2. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельными в пространстве называют две различные прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Иными словами, у них нет общей точки, но при этом обе прямые можно расположить на одной плоскости. Записывают это так: a ∥ b, где a и b — обозначения прямых. Условие «различные» исключает совпадающие прямые.

Прямые, лежащие в одной плоскости, называют копланарными. Это слово помогает различить два случая, которые на рисунке могут выглядеть одинаково: прямые без общей точки могут быть как параллельными, так и скрещивающимися. Для параллельности недостаточно проверить, что прямые не пересекаются: нужно ещё установить, что они копланарны. Именно это условие отличает параллельные прямые от скрещивающихся.

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются, но параллельными не считаются, потому что условие копланарности не выполнено. Значит, параллельные прямые всегда можно рассматривать в общей плоскости, а скрещивающиеся — нельзя. Такое различие необходимо, чтобы верно описывать взаимное расположение прямых в пространстве.

Как это устроено

Две различные параллельные прямые задают единственную плоскость. По определению они уже лежат в одной плоскости, а две пересекающиеся или две различные параллельные прямые определяют плоскость однозначно. Если бы через эти прямые проходила другая плоскость, она тоже содержала бы две различные прямые, а значит, совпала бы с первой. Поэтому плоскость, в которой лежат параллельные прямые, не приходится выбирать произвольно.

Аксиома параллельности утверждает: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Прямая и точка вне неё задают плоскость, поэтому вопрос о параллельной прямой сводится к геометрии этой плоскости. В плоскости через выбранную точку можно провести только одну прямую, не пересекающую данную. Аксиома гарантирует и существование такой прямой, и её единственность.

Если две различные прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Пусть a ∥ b и c ∥ b; прямые a и c различны. Прямые a и b задают плоскость, а прямая c, параллельная b и не пересекающая её, также лежит в этой плоскости: иначе она была бы скрещивающейся с b, а не параллельной ей. Значит, a и c копланарны и не пересекаются, поэтому a ∥ c; здесь используется аксиома параллельности в общей плоскости.

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или быть скрещивающимися. Сначала проверяют, есть ли у них общая точка: если есть, прямые пересекаются (или совпадают, если это одна и та же прямая). Если общей точки нет, нужно проверить, лежат ли они в одной плоскости. Копланарные непересекающиеся прямые параллельны, а некопланарные — скрещиваются.

Представь каркас прямоугольного параллелепипеда. Два ребра, выходящие из разных вершин и направленные по разным направлениям, могут не иметь общей точки, но принадлежать разным граням и не лежать в одной плоскости. Такие рёбра скрещиваются, хотя на плоском рисунке их расположение иногда трудно оценить. Поэтому рисунок помогает представить фигуру, но вывод о параллельности требует проверки общей плоскости. Важно рассуждать о пространственной фигуре, а не только о её изображении.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пользуйся таблицей по порядку: сначала проверь, есть ли общая точка, затем — можно ли провести плоскость через обе прямые. Отсутствие общей точки само по себе не позволяет выбрать между параллельностью и скрещиванием. Если прямые совпадают, это отдельный случай, а не параллельность.

Разбор задач

Задача 1. Даны две прямые в одной плоскости, не имеющие общих точек. Определите их взаимное расположение и запишите обозначение.

1. Прямые лежат в одной плоскости, то есть являются копланарными.
2. Общих точек у них нет, следовательно, они не пересекаются и не совпадают.
3. По определению такие различные прямые параллельны. Обозначение: a ∥ b.

Ответ: прямые параллельны, a ∥ b. Здесь вывод возможен именно потому, что условие задачи гарантирует их принадлежность одной плоскости.

Задача 2. Прямые a и b параллельны, а прямые b и c параллельны. Докажите, что a и c параллельны.

1. Прямые a и b задают плоскость α, поскольку они различны и параллельны.
2. Так как c параллельна b, она не пересекает b и лежит с ней в одной плоскости. Эту плоскость задаёт пара b и c, поэтому она совпадает с α: через две различные параллельные прямые проходит единственная плоскость.
3. Теперь a и c лежат в α. Они не могут пересекаться: иначе точка пересечения a и c оказалась бы на прямой b, поскольку в плоскости через эту точку проходит единственная прямая, параллельная b. Это противоречило бы тому, что a и b различны и параллельны.

Ответ: a ∥ c. Мы установили и копланарность, и отсутствие пересечения — одних сведений об отсутствии общей точки для пространственного доказательства было бы недостаточно.

Задача 3. В тетраэдре ABCD определите взаимное расположение прямых AB и CD. Обоснуйте ответ.

1. Прямые AB и CD — противоположные рёбра тетраэдра, поэтому у них нет общей вершины и они не пересекаются.
2. Проверим, могут ли они лежать в одной плоскости. Если бы плоскость содержала AB и CD, то она содержала бы все четыре вершины тетраэдра.
3. Но четыре вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости; иначе тетраэдр выродился бы в плоскую фигуру. Значит, AB и CD не копланарны.

Ответ: прямые AB и CD скрещиваются. Их нельзя назвать параллельными, хотя они не пересекаются: необходимого условия общей плоскости нет.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллельными любые непересекающиеся прямые. Её допускают, когда переносят привычное рассуждение из планиметрии на пространство. Но в пространстве прямые без общей точки могут быть скрещивающимися. Проверь копланарность: если общей плоскости нет, прямые скрещиваются.

Ошибка: считать совпадающие прямые параллельными. Такое впечатление может возникнуть из-за того, что у совпадающих прямых тоже нет единственной точки пересечения. Однако определение требует, чтобы параллельные прямые были различными. Убедись, что речь идёт о двух разных прямых, а не об одной и той же.

Ошибка: полагать, что через точку вне прямой можно провести несколько параллельных ей прямых. Так можно подумать, если мысленно менять наклон линии, не учитывая, что она должна пройти через заданную точку. Аксиома параллельности допускает только одну такую прямую. Для самопроверки вспомни, что и точка, и исходная прямая определяют плоскость, где параллельная прямая единственна.

Ошибка: выводить параллельность двух прямых только из того, что обе параллельны третьей. В пространстве важно обосновать, что рассматриваемые прямые лежат в одной плоскости; иначе нельзя применить планиметрическое рассуждение. Проверь общую плоскость и различие прямых, а затем используй теорему о параллельных прямых. Так доказательство опирается на нужные условия, а не только на рисунок.

Связь с другими темами

Для изучения параллельных прямых нужны определения прямой и плоскости, а также умение устанавливать, принадлежат ли точки и прямые плоскости. Понятие скрещивающихся прямых помогает описывать пространственные фигуры и доказывать свойства многогранников: например, распознавать взаимное положение их рёбер. Позже параллельность прямых понадобится при изучении положения прямой относительно плоскости и взаимного расположения плоскостей. Поэтому навык проверять копланарность станет основой для следующих тем стереометрии.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• В пространстве непересекающиеся прямые могут быть скрещивающимися.
• Через точку вне прямой проходит единственная параллельная ей прямая.
• Две различные прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
• Параллельность прямых обозначают a ∥ b.