3.1 Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это различные прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Записывают так: a ∥ b, где a и b — названия прямых, а знак ∥ означает «параллельна». Это понятие помогает точно описывать взаимное расположение прямых и отличать их от пересекающихся.

Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых. Если отрезок AB лежит на прямой a, а CD — на прямой b, то при a ∥ b записывают AB ∥ CD. Длины отрезков при этом могут быть разными: параллельность говорит о направлении прямых, а не о размере отрезков.

Параллельные лучи — лучи, лежащие на параллельных прямых. Их прямые-носители не пересекаются, но направления самих лучей могут совпадать или быть противоположными. Это уточнение нужно, потому что луч имеет начало и направленную часть, а прямая продолжается в обе стороны.

Расстоянием между параллельными прямыми называют длину перпендикуляра, проведённого от точки одной прямой до другой. Перпендикуляр — отрезок, который образует с прямой прямой угол. Такое определение задаёт единый способ измерения расстояния, независимо от того, где выбрана точка.

Как это устроено

Условие «лежат в одной плоскости» важно из-за того, что геометрия пространства допускает прямые, которые не пересекаются и при этом не параллельны. Например, две линии на разных сторонах коробки могут идти в разных направлениях и не встретиться. Они не окажутся в одной плоскости, поэтому определение параллельных прямых к ним неприменимо. На плоскости же такой неопределённости нет.

Представь плоскость как ровный лист и отметь на нём две различные прямые. Если они имеют общую точку, то пересекаются; если общей точки нет, то они параллельны. Совпадающие прямые — это не две различные прямые, а одна и та же прямая, поэтому их не относят к параллельным. Схематично выбор можно показать так: пересечение — X, параллельность — две отдельные одинаково направленные линии.

Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то при движении вдоль этой общей прямой они сохраняют одинаковое направление и не сходятся. Значит, прямые параллельны. Это свойство удобно применять, когда прямой угол построить проще, чем непосредственно провести параллельную линию.

Чтобы измерить расстояние между прямыми, от точки одной из них проводят перпендикуляр до другой. Наклонный отрезок соединяет те же прямые, но он длиннее перпендикуляра, поэтому его длина не показывает расстояние между ними. Для параллельных прямых длина перпендикуляра постоянна: если взять другую точку, перпендикуляры образуют прямоугольник, а его противоположные стороны равны. Поэтому результат измерения не меняется.

Параллельность отрезков и лучей определяют не по тому, как выглядят отдельные части, а по прямым, на которых они лежат. Продолжи отрезок в обе стороны до прямой или представь прямую, содержащую луч. Если эти прямые параллельны, то параллельны и отрезки либо лучи. Для лучей отдельно учитывают направление: оно может быть одинаковым или противоположным.

Сравнение взаимного расположения двух прямых на плоскости

Сначала определи, есть ли у прямых общая точка: если есть, они пересекаются, если нет — параллельны. Затем проверь угол пересечения: прямой угол означает, что прямые перпендикулярны. Поэтому перпендикулярные прямые одновременно относятся к пересекающимся.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже прямые a и b перпендикулярны прямой c. Определите взаимное расположение a и b.

1. Запишем данные: a ⟂ c и b ⟂ c. Знак ⟂ означает, что прямые перпендикулярны.
2. Применим свойство: если две прямые перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.
3. Следовательно, a и b не пересекаются и лежат в одной плоскости чертежа.

Ответ: a ∥ b.

Задача 2. Из точки A, не лежащей на прямой a, проведите прямую, параллельную a, используя угольник и линейку.

1. Приложи один катет угольника к прямой a и проведи через A перпендикуляр к a. Обозначим его c.
2. Сохраняя направление угольника, проведи через A прямую, перпендикулярную c. Обозначим её b.
3. Теперь a и b перпендикулярны одной прямой c, поэтому по свойству они параллельны.

Ответ: построенная через A прямая b параллельна a. Построение с двумя прямыми углами заменяет попытку выдержать одинаковый наклон на глаз.

Задача 3. Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 4 см. Из точки M на a опущен перпендикуляр MN на b. Найдите MN и объясните, изменится ли ответ при выборе другой точки на a.

1. MN перпендикулярен b и соединяет точку на a с прямой b. Это перпендикуляр между параллельными прямыми.
2. По определению его длина равна расстоянию между прямыми, которое дано и составляет 4 см.
3. При выборе другой точки получится другой перпендикуляр, но расстояние между параллельными прямыми постоянно.

Ответ: MN = 4 см; при выборе другой точки длина не изменится.

Типичные ошибки

Ошибка: называть параллельными любые непересекающиеся прямые. Так делают, потому что на плоском рисунке легко забыть о пространстве. Проверь, лежат ли прямые в одной плоскости: только тогда они могут быть параллельными.

Ошибка: считать совпадающие прямые параллельными. Они действительно не пересекаются в одной отдельной точке, но имеют общими все свои точки. Убедись, что перед тобой две различные прямые, а не одна и та же.

Ошибка: связывать параллельность отрезков с одинаковой длиной. Отрезки равной длины могут быть наклонены по-разному, а параллельные отрезки могут иметь разные размеры. Продли их до прямых и сравни направление — именно так проверяют параллельность.

Ошибка: измерять расстояние по наклонному отрезку. Его длина зависит от наклона и больше длины перпендикуляра, поэтому может дать неверный результат. Проверь, образует ли соединяющий отрезок прямой угол с параллельными прямыми; измерять нужно именно перпендикуляр.

Связь с другими темами

Для работы с параллельными прямыми нужно знать, что такое прямая, отрезок, луч, плоскость и перпендикулярные прямые. Эти понятия помогают читать обозначения и выполнять построения. Далее параллельность пригодится при изучении углов, которые образуются, когда прямую пересекают две параллельные прямые. Она также лежит в основе признаков параллельности — способов доказать, что прямые не пересекаются.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Параллельность прямых обозначают a ∥ b.
• Совпадающие прямые не считают параллельными.
• Если две прямые перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.
• Параллельные отрезки лежат на параллельных прямых.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру.